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如何得到「P1 且 P2」等價於 原命題？

我跟其他數學同好討論的結果：
我的證明是有問題的，問題在否定命題的定義！「我的否定命題」太強，非題目的否定命題

這個題目是「對所有的△ABC，內部一點P，都有∠PAB、∠PBC、∠PCA至少一個小於或等於30°」
所以否定命題是「至少存在一個△ABC，其內部一點P，能滿足∠PAB、∠PBC、∠PCA都大於30°」
當我用否定命題時，這個存在的△ABC，滿足∠PAB、∠PBC、∠PCA都大於30°，未必滿足∠PBA、∠PCB、∠PAC都大於30°
所以我之前的證法是不對的！

您一開始假設 ∠PAB、∠PBC、∠PCA 皆大於30° 沒問題 突然發現難道是因為你以為這是我假設的，而產生這麼一大串的討論 事實上，這並不是我假設的，而是由「否定命題」而得到的結論！ 我唯一的假設只有「設原命題為非」 借您的圖說明，其實您一開始要說 「∠1、∠2、∠3 皆大於 30°」 或 「∠4、∠5、∠6 皆大於 30°」 都可以 但您一旦確定 「∠1、∠2、∠3 皆大於 30°」 後，又馬上接著說 「∠4、∠5、∠6 亦皆大於 30°」，這小弟就不能同意了 不同意的原因是什麼？為什麼不能得到以上兩個結論？ 如果原命題為否，我再用新加的兩個附檔來做說明！ 設原命題為否，即表示「A, ...

To thepiano：
我想我換個「不要標記三角形各點的名稱」的說法好

設此命題為否
則可推論 「∠1、∠2、∠3 皆大於 30°」 且 「∠4、∠5、∠6 亦皆大於 30°」
則得此三角形的內角和大於180°，得矛盾
故此命題為真

能跟您討論還蠻開心的～～

To thepiano
請問您能認同「原命題」等價於下面兩個命題嗎？
(1) 在△DEF內部有一點 P，∠PDE、∠PEF、∠PFD 至少有一角小於等於 30°
(2) 在△GIH內部有一點 P ，∠PGI、∠PIH、∠PHG 至少有一角小於等於 30°

我只是對原本的△，應用兩次 " ~「原命題」" 得到矛盾結果罷了

原命題真的有那麼在意 A、B、C 這三個點的「名稱」嗎？

您誤會我的意思了！

我是用反證法，設原始命題為否……
則不論原本的△ABC，或是改變標記的△A'B'C，其中A'=B、B'=A
都應該可以可以用 ~「原始命題」
而得到∠PAB、∠PBC、∠PCA 皆大於30°且∠PA'B'、∠PB'C、∠PCA' 亦大於 30°
這時都用原本的三角形來看，上述六個角就會變成
∠PAB、∠PBC、∠PCA 皆大於30°且∠PBA、∠PAC、∠PCB 亦大於 30°
所以這六個角之和會大於180°……
但由原本的三角形來看，而這六個角之和應為 180°，得矛盾
所以我們一開始「假設原始命題為否」非真
而得證原始命題為真！

第 9 題我不會這麼答耶！
因為我不會「Erdos-Mordell 不等式」，我會用反證法！
^^^^^^^更正，應該是歸謬證法！
設此命題為否
則∠PAB、∠PBC、∠PCA 皆大於30°
接下來，將原三角形標記 A、B 互換位置後(原三角形不動)
因為此命題為否，將得原三角形的 ∠PBA、∠PCB、∠PAC 皆大於 30°
因上述六個角之和應為 180°
但當此命題為否時，將使六個角之和大於 180°，得矛盾
故此命題為真！

請指教，謝謝！

armopen 的算法是可行的，
不過對於一般化的問題 a tan^2(x) + b tan(x) + c cot(x) + d cot^2(x) 應該沒辦法使用

9tan^2(x) + 6cot(x) + 6cot(x) + 4cot^2(x) + 6tan(x) + 6tan(x) ≧ 3 (9*6*6)^(1/3) + 3 (4*6*6)^(1/3) = 9*12^(1/3) + 6*18^(1/3)

其中等號成立時 9tan^2(x) = 6cot(x) 且 4cot^2(x) = 6tan(x) ，即 tan(x)=(2/3)^(1/3)

這個問題用錯排好像比較慢，錯排應該要這麼想：
全部 - (1個數字違規) + (2個數字違規) - (3個數字違規) + (4個數字違規) -(5個數字違規) +(6個數字違規)

其中 2 個數字違規，是「1、2 違規」跟是「1、3 違規」，又要分類討論
其他的更複雜，所以還是直接算比較快吧！(見附件)

第(1)小題： 若選出 k 個元素，則至少要用 k-1 個元素去隔開 故 k + (k-1) ≦ 100，推得 k≦50.5 即得 max k = 50 第(2)小題： 有 k 個元素，其中有兩個要相鄰， 將之視為 x_1 、x_2、……、x_(k-1) ，共 k-1 組，其中有一組是 2 個元素 則 x_1 的左方有 y_0 個元素 　x_1和x_2之間有 y_1 個元素 　x_2和x_3之間有y_2個元素 　… 　x_(k-2)和x_(k-1)之間有y_(k-2)個元素 　x_(k-1) 的右方有 y_k-1 個元素 故 y_0 + y_1 + y_2 + ... + y_(k-2) + ...