美夢成真教甄討論區

第三題真的有點技巧. 我想再請問 thepiano 老師第二題，下面紅色的部分能請老師再解說一下嗎？

不失一般性，設 ∠ACB ＞ ∠ABC
則 ∠DCF ＞ ∠EBF
取 ∠GCF = ∠EBF
則 ∠BGC = ∠CEB ...... (1)

又 ∠FCB ＞ ∠FBC
∠BCG ＞ ∠CBE ...... (2)

由 (1)，△BGC / △CEB = (BG * CG) / (BE * CE)
由 (2)，△BGC / △CEB ＞ (BC * CG) / (BC * BE) (為什麼？？？)
BG ＞ CE
但 BG ＜ BD = CE
故矛盾

∠ABC = ∠ACB

原式 = |z| |z - 1 + 1/z| = |z + 1/z -1|

因為複數 z 滿足 |z| = 1, 所以令 z = cosθ + i sinθ, θ 屬於 [0, 2π) => 1/z = cos(-θ) + i sin(-θ)

代入得到

原式 = |2cosθ - 1|, 所以最大值是 3, 最小值是 0.

1. (1) 因式分解 x^2 + y^2 + z^2 - xy - x - y + 1. (2) 利用 (1) 因式分解 a^2 + b^2 + c^2 - ac - bc - ca. 主要卡在第 (2) 小題, 第一小題我是將原式視作以 x 為變數的一元二次方程式去求解就行了, 但如何將此結果套用 在第 (2) 小題上呢？ 2. 三角形 ABC 中, 角 B 的角平分線交 AC 於 E, 角 C 的角平分線交 AB 於 D, 且 BE = CD, 證明： 角 B = 角 C. 3. 求 √[6 + 2√(a_1)], 其中 a_1 = 7 + 3√(a_2), a_2 = 8 + 4√(a...

呼，弄了半天總算算出來了，被根號化簡弄得頭昏眼花 @@,

謝謝 thepiano 老師的幫忙

求出一個有理函數 f: (-1,1) -> R 為一對一映成，並證明成立. (92屏東高中)

我知道如果不要求是有理函數 (即二個多項式的商) 的話，可以取 f(x) = tan(πx/2)，

有人可以幫忙造出這種函數嗎？ 謝謝大家的幫忙.

利用 sin(18。) = (-1 + √5)/4 求正十二面體兩面夾角的正弦值. (92 桃園三校聯招)

設 x 為實數, 且函數 f(x) 滿足 f(x) - 2 f(1/x) = x, 則 |f(x)| 的最小值是多少？

我覺得題目好像有錯，好像應該改成 x 是正實數才做得出來？

我的想法是將 x 用 1/x 代入得到 f(1/x) - 2 f(x) = 1/x

和原題目作加減消去法可推得 3|f(x)| = |x + 2/x|, 然後就做不下去了, 如果能要求 x 是正實數,

就能用算幾不等式做出來，大家有什麼看法呢？ 謝謝大家的幫忙.

查到了, 將解法分享如下：

考慮 tan(π/2 - C/2) = tan[(A+B)/2], 則 cot(C/2) = [tan(A/2) + tan(B/2)]/[1-tan(A/2)tan(B/2)]

設 x = tan(A/2), y = tan(B/2), z = tan(C/2), 上面結果可表示成 xy + xz + yz = 1.

又題目要證明 x^2 + y^2 + z^2 ≧ 1, 這只需證明 x^2 + y^2 + z^2 ≧ xy + xz + yz

這相當於 (x - y)^2 + (x - z)^2 + (y - z)^2 ≧ 0, 故得證.

甲、乙、丙三人棋力相當，褣行比賽，規則如下，2人先下，輸的一人由第三人遞補與贏的人下，依此規則一直下去，

現在由甲、乙先下，乙勝獲，則最後由甲獲勝的機率是多少？

(92 嘉義高工)

我弄懂了，謝謝 thepiano 老師的幫忙.