美夢成真教甄討論區

1. 想請問 thepiano 老師如何保證取到 n = 39 就已經是最大的 n 了呢，我只看出 n = 39 是符合題意一組解,

麻煩老師解惑, 謝謝.

稍微更正一下，仍可以用算幾喔 (高中數學 101 的方法)，您提到的這題我作過

將原式表為 9tan^2(x) + 6cot(x) + 6cot(x) (用第一次算幾)

4cot^2(x) + 6tan(x) + 6tan(x) (用第二次算幾)

上面二式相加，等號成立於 9tan^2(x) = 6cot(x) 且 4cot^2(x) = 6tan(x) => tan(x) = "2/3" 的 3 次方根.

1. 從 1, 2, 3, ... , n 中任取 8 個數，要使其中至少有兩個數的商不少於 2/3，則自然數 n 的最大值是？

2. 袋中有大小相同的 3 紅球，4 黑球，及 5 白球，令自袋中取一球，取後不放回，直到所有紅球皆取出為止，

若令 X 代表停止時所取球的次數，試求 X 之期望值.

麻煩大家幫忙解答，謝謝！

所以 thepiano 老師您的意思是書上的答案錯了嗎？？？ 謝謝您的幫忙.

已知袋中有 3 個黑球，4 個白球，今自袋中隨機取球，每次取出一球，取出後不放回， 而在有一種色球被取完時就停止，則恰取 5 球的機率為？ 我知道可以分成 (1) 第 5 球取完黑球 及 (2) 第 5 球取完白球 兩種情況來討論 但不懂書上的解法，請大家幫忙看看，謝謝！ (1) C(4,2) * 3 * 2 * 4 * 3 * 1 / P(7,5) = 6/35 (2) C(4,3) * 4 * 3 * 2 * 3 * 1 / P(7,5) = 4/35 我自已對於 (1) 的想法是，既然要算 "最後取完黑球" 的情形數，先取一個黑球放最後 C(3,1), 前面四次是剩下的 2 個黑球與其中...

用數字 1, 2, 3, 4, 5, 6 作成的六位數密碼，數字不重複使用，且前兩位沒有 1, 2, 中間沒有 3, 4, 末兩位沒有 5, 6，

則可以作出幾個密碼？

答案： 錯排 6! - C(3,1) * 2 * 4! + C(3,2) * 2^2 * 2! - 2^3 = 592

我知道應該是用 (全部) - (前兩位排 1 or 2 或 中兩位排 3 or 4 或 末兩位排 5 or 6)

但不理解為何 前兩位排 1 or 2 的方法數是 C(3,1) * 2 * 4!, 請大家幫忙想想, 謝謝.

設 a_1, a_2, ... , a_n 與 b_1, b_2, ... , b_n 是相異的 2n 個實數構成的兩個數列，分別將兩個數列由小到大

排列而得到兩個遞增數列 a_1', a_2', ... , a_n' 與 b_1', b_2', ..., b_n'. 證明

max{|a_i - b_i|: i = 1 ~ n} > max{|a_i' - b_i'|: i = 1 ~ n}.

我打一下書上的解法，

(1) C(100-k+1,k), 其中 101 - k ≧ k, 所以 k 最大只能是 50.

(2) C(101-k,k-1) * (k-1) / C(100,k) <=== 分子又是怎麼想的呢？


另外，我覺得奇怪為何第 (1) 小題的答案是從 100 - k + 1 去選 k 個，

而不是從 100 - k 去選 k 個呢？ 那個多加的 1 是怎麼來的呢？ 謝謝 thepiano 老師的幫忙.

我懂了, 謝謝 thepiano 老師的圖與解說.

原來鴿籠原理可以這樣用, 謝謝 thepiano 的詳細解說, 感恩.