美夢成真教甄討論區

第 6 題
http://forum.nta.org.tw/examservice/sho ... hp?t=49991


第 28 題
lim[x * sin(1/x)]
(x→0)

=lim[sin(1/x) / (1/x)]
(1/x→∞)

= 0

∵ -1 ≦ sin(1/x) ≦ 1，而 1/x→∞

用柯西不等式
(x^2 + y^2)(1^2 + 2^2) ≧ (x + 2y)^2
5(x^2 + y^2) ≧ 1^2
x^2 + y^2 ≧ 1/5

f(x) = ax^2 + bx + c　(a≠0)

= a[x^2 + (b/a)x] + c

= a[x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2] + c - a * (b/2a)^2

= a[x + (b/2a)]^2 + [-(b^2 - 4ac)/(4a)]

(1) a ＞ 0
x = -b/2a 時，f(x) 有極小值 -(b^2 - 4ac)/(4a)

(2) a ＜ 0
x = -b/2a 時，f(x) 有極大值 -(b^2 - 4ac)/(4a)

f(x) = 2^(x + 2) - 3 * 4^x = 4 * 2^x - 3 * (2^x)^2

令 t = 2^x，1/2 ≦ t ≦ 1

f(x) 改寫成 f(t) = 4t - 3t^2 = -3t^2 + 4t

t = - 4 / (-6) = 2/3 時，f(t) 有最大值 4/3

第 1 題
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=8994

第 2 題
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=8163

第 4 題
請參考此文
http://teach.eje.edu.tw/9CC/textbook%20 ... /ask/7.doc


第 39 題
二次函數 f(x) = ax^2 + bx + c ( a 不為 0)
在 x = -b / (2a) 時，有最大或最小值 -(b^2 - 4ac) / (4a)

原題之 f(x) = (x − 2)^2 + 2(x − 3)^2 + 2(x − 7)^2 + (x − 8)^2
展開 ......
f(x) = 6x^2 - 60x + ......，常數項的部分因用不到，所以不用管

設直線 L 之方程式為 mx - y = 0
利用 (0，5) 到直線 L 之距離 = ∣0 - 5∣/√(m^2 + 1) = 4
m = ±3/4

直線 L 之方程式為 y = (±3/4)x
令切點 P 在第一象限之坐標為 (a，(3/4)a)，在第二象限之坐標為 (-a，(3/4)a)
圓心 A 與第一象限之 P 點所連成的直線 AP 之斜率 = [5 - (3/4)a] / (0 - a) = -(4/3)
a = 12/5

P之坐標為 (12/5，9/5) 和 (-12/5，9/5)

這兩題國小教甄不會考，就不寫過程了！

第 1 題
答案的確是 4π^2

第 2 題
要證這題不算難，不過要先了解何謂勾股數，還要弄懂無窮遞降法
寫起來很長，有興趣的話，建議您參考 "數論" 相關書籍

費馬最後定理：n ＞ 2，x^n + y^n = z^n 無正整數解
1995 年，被英國數學家 安德魯˙懷爾斯 證出

當初，費馬僅用無窮遞降法證明 x^4 + y^4 = z^4 無正整數解 ......

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