美夢成真教甄討論區

第 F 題 x^2 + (3p - 1)x + 9p^2 = 0 有兩實根 (3p - 1)^2 - 4 * 9p^2 ≧ 0 -1/3 ≦ p ≦ 1/9 tanα + tanβ = 1 - 3p tanαtanβ = 9p^2 tan(α + β) = (1 - 3p)/(1 - 9p^2) = 1/(1 + 3p) [1/(1 + 3p)]^0 + [1/(1 + 3p)]^1 + ... + [1/(1 + 3p)]^n 不存在 1/(1 + 3p) ≧ 1 或 1/(1 + 3p) ≦ -1 -2/3 ≦ p ≦ 0 取交集 -1/3 ≦ p ≦ 0 第 K 題 參考 satsuki...

第 12 題
√[(x - 2)^2 + (y - 1)^2]/(|3x + 4y|/5) = 1/5
表示點 (x，y) 到 (2，1) 的距離/點 (x，y)到直線 3x + 4y = 0 的距離 = 1/5

離心率 e = c/a = 1/5
a = 5c，b^2 = 24c^2

橢圓焦點 (2，1) 到直線 3x + 4y = 0 之距離 = 2
a - c = 2 * 1/6 = 1/3
4c = 1/3
c = 1/12

正焦弦長 = 2b^2/a = 48c^2/(5c) = (48/5)c = 4/5

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第 9 題
疊合後 = 1 + 3√2sin(x + (5/12)π) - √2sin(3x + (1/4)π)
微分後 = 3√2cos(x + (5/12)π) - 3√2cos(3x + (1/4)π) = 0
可求出 x = (1/3 + 2k)π 或 (-1/6 + 2k)π 時，有最大值 5

第 11 題 作 AF 垂直 DE 於 F △PAF 中，PA = 4、PF = √3、AF = √7 cos∠PAF = (5/14)√7，sin∠PAF = (1/14)√21 P 到直線 AF 的距離 = (1/14)√21 * 4 = (2/7)√21 △PAE 中，PA = 4、PE = 2、AE = 2√2 cos∠PAE = (5/8)√2，sin∠PAE = (1/8)√14 P 到直線 AE 的距離 = (1/8)√14 * 4 = (1/2)√14 所求 sinθ = P 到直線 AF 的距離 / P 到直線 AE 的距離 = (2/7)√21 / (1/2)√14 = (...

第 12 題 AC/sin45∘= AB/sin75∘ AC = 6√3 - 6 作 DM 垂直 AC 於 M，作 FN 垂直 AC 於 N 易知 △DMG 和 △GNF 全等 設 MG = NF = x CN = tan15∘* NF = (2 - √3)x AM = 1，DM = GN = √3 MG + CN = AC - AM - GN x + (2 - √3)x = 6√3 - 6 - 1 - √3 (3 - √3)x = 5√3 - 7 x = (5√3 - 7)/(3 - √3) ABCD = DG^2 = x^2 + 3 = [(5√3 - 7)/(3 - √3)]^2 + 3...

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非選 Q 以下 u、v、w 都是向量 u - v = (2，-1，0)、v - w = (-1，2，3)、u - w = (1，1，3) |u - v| = √5，|v - w| = √14，|u - w| = √11 令 |u| = a，|v| = b，|w| = c 利用 a^2 + b^2 = 5，b^2 + c^2 = 14，c^2 + a^2 = 11 可求出 a^2 = 1，b^2 = 4，c^2 = 10 所求 = abc = √(a^2b^2c^2) = 2√10 以下是比較麻煩的做法 令 u = (x，y，z)、v = (x - 2，y + 1，z)、w = (x - 1，y...

第 M 題 所有連乘之分數均為分子比分母小 1 的正真分數 n 個這樣的分數相乘之最小值 = (1/2)(2/3)(3/4)……[n/(n + 1)] = 1/(n + 1) 1/(n + 1) <= 114/2025 n >= 17 由於 114/2025 = 38/675 = (2 * 19)/(3^3 * 5^2) 考慮 (1/2)(2/3)(3/4)……(17/18)(18/19)(19/20) 這 19 個分數連乘 由於分子需有 19，先拿掉 18/19，此時分母多了 18 = 2 * 3^2 和 20 = 2^2 * 5，要再多 3 * 5，才是 3^3 * 5^2 再拿掉 15/...

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