美夢成真教甄討論區

LS0722 寫: ↑

2025年 4月 24日, 19:36

第二題詳解有一段算式想了許久不太理解，想請老師解惑
"由孟氏定理推得 CG/GA = 3/(x + 3) 和 AH/HB = (x + 3)/5
則 AB/AC = (x + 8)/(x + 6)"
請問這裡AB:AC是可以直接用CG:GA的比和AH:HB的比相加得到嗎?

可以！

終於看到了
△AHE 和 △AGE 全等 (ASA)
AH = AG

計算第 3 題 (2)
x^2 - y - 6 = 0
x + 2(y - 30)^2 - 6 = 0
2(x^2 - y - 6) + x + 2(y - 30)^2 - 6 = 0
(x + 1/4)^2 + (y - 61/2)^2 = 629/16
r 的最小值為 √629 / 4

請參考附件

第 2 題
我原先的做法，的確有疑慮，我再想想

第 3 題
答案應是 (20/7)√6

第 7 題
參考 https://math.pro/db/thread-3940-1-2.html

第 8 題
a + b + (c - 3) = 111
abc - 3ab = ab(c - 3)
再用算幾不等式

請參考附件

計算第 1 題
2(a^2 + b^2) ≧ (a + b)^2 > a + b (∵ a + b ≧ 3)

|a - 2b^2| + |b - 2a^2|
≧ |(a + b) - 2(a^2 + b^2)|
= 2(a^2 + b^2) - (a + b)
≧ (a + b)^2 - (a +b)
= (a + b)(a + b - 1)
≧ 3 * 2
= 6

第 5 題
先考慮半徑為 1 的球 O，內切於正四面體 D-ABC
易知 D-ABC 的高為 4，邊長為 2√6

球心 O 在 △ABC 上的投影點是其重心 G
作 GM 垂直 AB 於 M
則 GM = √2，AM = BM = √6

當正四面體 D-ABC 擴大為邊長 6√6 時，球心的投影點與正四面體的邊保持最小距離 √2
而投影點的運動軌跡是 △ABC 內一個邊長 6√6 - √6 * 2 = 4√6 的正三角形

由於有四個面
所求 = (√3/4)[(6√6)^2 - (4√6)^2] * 4 = 120√3

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