因數倍數一題

[ruby0519]

已知正整數n大於1,若59,85,124分別除以 n,其餘數皆相同,問n的最大值為何

謝謝老師

我是慢慢從餘數為1,2,3,4,5,6,7一直試到7才發現有公因數13
請問有別的妙解嗎
謝謝老師

[thepiano]

85 - 59 = 26
124 - 59 = 65
124 - 85 = 39

n 之最大值 = (26，65，39) = 13

[ruby0519]

鋼琴老師可否再問一題
1. 999999乘上某數=1111...11(有n個1)
求某數

2. 107/210=1/a+1/b+1/c
a,b,c為三個相異的正整數
求a+b+c為多少
我算出來的數字不唯一
107/210=1/5+1/6+1/7
107/210=1/3+1/7+1/30
請問這樣對嗎



謝謝老師

[thepiano]

第 1 題
設某數為 a，且 999999 * a = b

999999 = 111111 * 9

b 為 111111 之倍數，由於其全部數字均為 1
故 b 可能等於 111111，111111111111，111111111111111111，......

111111 / 111111 = 1
111111111111 / 111111 = 1000001
111111111111111111 / 111111 = 1000001000001

1，1000001，1000001000001，...... 這些商必須為 9 之倍數
故 b = 54 個 1

a = b / 999999 = 111111222222333333444444555555666666777777888889


第 2 題
應該還有這組
107/210 = 1/3 + 1/6 + 1/105

[ruby0519]

謝謝鋼琴老師的妙解
不過可否請問第二題
107/210的解法
只能靠嘗試猜解
還是有方法可循
不然很有可能會有答案被遺漏耶

[thepiano]

不失一般性，可設 a ＜ b ＜ c
1/a ＞ 1/b ＞ 1/c

3/a ＞ 1/a + 1/b + 1/c = 107/210
a ≦ 5
a 之可能值為 5，3，2 (4 非 210 之因數，不可能)

(1) a = 5
2/b ＞ 1/b + 1/c = 65/210
b = 6
c = 7

(2) a = 3
......
您自行試試看

(3) a = 2
1/b + 1/c = 2/210
b = c = 210，不合