小六資優數學請教

[exagnes]

１．兩人做移火柴棍遊戲,兩人從一堆火柴中輪流移走1~7隻, 直到移盡為止,誰移到最後一根就算輸,若開始有1000根火柴,則先移的人第一次應該移動幾根火柴,才能保證獲勝?

２．一個電子表６點２４分３０秒時，顯示數字如下圖，那麼從８點到９點這段時間裡，此５個數字都不相同的情況有幾種？
６：２４:３０

感恩不盡 謝謝

[thepiano]

第 1 題
1. 選到第 999 根的人必贏
2. 要選到第 999 根，必須先選到第 991 根，再來對方選 a 根 (a = 1 ～ 7)，您就選 (8 - a) 根
3. 999，991，983，...... 這些數除以 8 都餘 7
4. 一開始先移走 7 根的人有必贏之策略


第 2 題
8：AB：CD
A：0 ～ 5
B：0 ～ 9
C：0 ～ 5
D：0 ～ 9

A 有 6 種取法，C 有 5 種取法，B 有 7 種取法，D 有 6 種取法
所求 = 6 * 5 * 7 * 6

[exagnes]

不好意思，鋼琴老師，請問~
第 1 題
2. 要選到第 999 根，必須先選到第 991 根，再來對方選 a 根 (a = 1 ～ 7)，您就選 (8 - a) 根
為什麼要選(8 - a) 根呢？為什麼是8？

3. 999，991，983，...... 這些數除以 8 都餘 7
和 999，991，983，...... 這些數又有什麼關係呢？

第 2 題
8：AB：CD
A：0 ～ 5
B：0 ～ 9
C：0 ～ 5
D：0 ～ 9

A 有 6 種取法，C 有 5 種取法，B 有 7 種取法，D 有 6 種取法
為什麼C 有 5 種取法，B 有 7 種取法，D 有 6 種取法呢？
所求 = 6 * 5 * 7 * 6

另外再請教一題
有些自然數能夠寫成一個質數與一個合數之和的形式，並且在不計加數順序的情況下，
這樣的表示方法至少有13種，那麼所有這樣的自然數中最小的一個是？
請問答案是47嗎？

[thepiano]

第 1 題
每次只能取 1 ～ 7 根
若您取到第 991 根
(i) 對方取第 992 根，您取第 993 ～ 999 (共 7 根)，您贏了！
(ii) 對方取第 992 和 993 根，您取第 994 ～ 999 (共 6 根)，您贏了！
......
(iii) 對方取第 992 ～ 998 (共 7 根)，您取第 999 根，您贏了！

要選到第 999 根，必須先選到第 991 根
要選到第 991 根，必須先選到第 983 根
要選到第 983 根，必須先選到第 975 根
......
這些數都差 8，這個 8 就是上面"對方與您"每次所取根數之和

這樣應該沒問題了吧？


第 2 題
C 是 0 ～ 5 共 6 個數字，但不得與 A 相同，故有 5 種取法
B 是 0 ～ 9 共 10 個數字，但不得與 A 和 C 和 8 相同，故有 7 種取法
D 是 0 ～ 9 共 10 個數字，但不得與 A 和 B 和 C 和 8 相同，故有 6 種取法


另一題
答案是 47 沒錯！

[M9331707]

第1題
因為取的火柴根數最少是1跟,最多是7根,因此,保持每一循環8根
i.e.除數為8,被除數為999(留下最後1根給對方就穩贏的)
又999被8除餘7因此第一次先取到7根,以後保持兩人取火柴根數和為8,最後一根就一定是給對方了!