99年桃園縣國小Q17&Q42

[trmaltose]

麻煩thepiano老師囉～～thanks

[thepiano]

第 17 題
所求為 111213......2425 除以 99 之餘數

111213......2425
= 111213......2324 * 100 + 25
= 111213......2324 * 99 + 111213......2324 + 25
= 111213......2324 * 99 + 111213......2223 * 100 + 24 + 25
= 111213......2324 * 99 + 111213......2223 * 99 + 111213......2223 + 24 + 25
= 111213......2324 * 99 + 111213......2223 * 99 + 111213......22 * 100 + 23 + 24 + 25
......

所求 = (11 + 12 + 13 + ...... + 23 + 24 + 25) 除以 99 之餘數


第 42 題
ad - bc = 2
af - be = 3

所求 = 4a(d - 3f) - 4b(c - 3e) = 4(ad - bc) - 12(af - be) = 8 - 36 = -28

[trmaltose]

謝謝thepiano老師~~
第17題的解法真是沒想到呀~~
詳細的解釋^^y
太感恩啦

[jungtime]

請問第5，8，10，33，46，48，麻煩老師

[thepiano]

第 5 題
題目應是：......，集合 C 的"元素"個數有 3 個
所求 = C(6，3)


第 8 題
可參考 http://zh.wikipedia.org/zh-hant/%E7%9C% ... C%E8%A1%A8


第 10 題
3^100 = 9^50 = (10 - 1)^50
用二項式定理展開，取末兩項即可
(10 - 1)^50 ≡ - C(50，49) * 10 + C(50，50) * 1 (mod 100) ≡ - 499 (mod 100) ≡ 1 (mod 100)
故 3^100 的末兩位是 01


第 33 題
[C(5，2) * C(3，1)] / C(10，3)


第 46 題
x^2 - 9 = 0
漸近線是 x = 3 和 x = -3 這兩條


第 48 題
取出的 4 個只有 3 色和 2 色這兩種情形

3 色的個數一定是 (2，1，1)，這樣的排列數是 4! / 2! = 12
但其中的 2 個可能是紅或黃或白，所以 12 * 3 = 36 種排法

2 色的個數一定是 (2，2)，這樣的排列數是 4! / (2!2!) = 6
6 * C(3，2) = 18 種排法

加起來就是答案

[jungtime]

老師第10題不太懂可以再解釋嗎?謝啦
(10 - 1)^50 ≡ - C(50，49) * 10 + C(50，50) * 1 (mod 100) ≡ - 499 (mod 100) ≡ 1 (mod 100)

[thepiano]

用二項式定理展開，由於前面都是 100 之倍數，故取末兩項即可

末兩項是
- C(50，49) * 10 + C(50，50) * 1

mod 100，指的是它除以 100 之餘數

- C(50，49) * 10 + C(50，50) * 1 = - 500 + 1 = - 499

-499 除以 100 之餘數與 -499 + 500 除以 100 之餘數相同，因為 500 是 100 之倍數

[jungtime]

懂了，謝謝老師

[hatagirl]

老師您好，請問第10題
二項式定理展開後
請幫我看一下照片裡面解的
我原本有列出第二項
但後來以為第二項已被100整除了
到底要不要考慮第二項(-500)呢？
非常感謝老師！

[ellipse]

老師您好，請問第10題
二項式定理展開後
請幫我看一下照片裡面解的
我原本有列出第二項
但後來以為第二項已被100整除了
到底要不要考慮第二項(-499)呢？
非常感謝老師！

第二項是-500吧?
如果它有被100整除的話
可以不用考慮~