96南區國小 Q23 25

[jemin]

（1 ）23. 只由1與0兩個符號組成的正整數(例如：1001、1100等)，而且同時是3的倍數和5的倍數，如果甲是這些正整數中最小的整數，則甲各位數字的和是多少? (1)3 (2)5 (3)6 (4)9

（2 ）25. 有一個比2大的整數甲，甲÷3、甲÷5、甲÷7的餘數分別是1、2、3。請問滿足上列條件最小的整數甲介於哪兩個數之間？(1)2與50 (2)51與100 (3)101與200 (4)201與1000

[thepiano]

第 1 題
是 5 的倍數，那麼個位一定是 0
然後又是 3 的倍數，數字和一定是 3 的倍數
補 3 個 1 就是最小了
甲 = 1110


第 2 題
設甲 = 7a + 3

7a + 3 = 5a + 2a + 3 ≡ 2a + 3 ≡ 2 (mod 5)
2a + 1 ≡ 0 (mod 5)

7a + 3 = 3(2a + 1) + a ≡ a ≡ 1 (mod 3)
然後 a = 1，4，7，...... 代入 2a + 1 ≡ 0 (mod 5) 看合不合
知 a 最小為 7，甲最小為 52

[jemin]

先謝謝您的幫忙
第二題我還是看不太懂
可否請鋼琴大大詳說一下
感激不盡

[thepiano]

a ≡ b (mod c)
表示 a 除以 c 和 b 除以 c 的餘數相同

5a + 2a + 3 ≡ 2a + 3 ≡ 2 (mod 5) (甲除以 5 餘 2)
5a 是 5 的倍數，所以 5a + 2a + 3 和 2a + 3 除以 5 的餘數都是 2

2a + 3 除以 5 的餘數是 2，2a + 1 除以 5 的餘數是 0
2a + 1 ≡ 0 (mod 5)

3(2a + 1) + a ≡ a ≡ 1 (mod 3) (甲除以 3 餘 1)
3(2a + 1) 是 3 的倍數，所以 3(2a + 1) + a 和 a 除以 3 的餘數都是 1
a ≡ 1 (mod 3)

這樣有沒有比較清楚？

[jemin]

感謝大大詳細解說
我真的懂了