級數與數列

[123123]

1.二個等差數列,首n項的比為(7n+2):(n+3),求此二數列第5項的比

2.設c1為單位圓,t1為c1之內接正三角形,c2為t1之內切圓,t2為c2之內接圓正三角形,依此類推,令ai表ti之面積,求Σai= (i=1~5)

3.數列<[(x-1)/x]^n>收斂則x之範圍為?

4.an=[1*3+3*5+....+(2n-1)(2n+1)/nnn],求極限

[thepiano]

第 1 題
參考 http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=10980


第 2 題
易用餘弦定理求出 t_1 之邊長為 √3，面積 (3/4)√3
再來求出 c_2 之半徑為 1/2

c_2 之面積是 c_1 的 1/4，所以 t_2 之面積也是 t_1 的 1/4

所求 = 首項是 (3/4)√3，公比是 1/4，且有 5 項的等比級數和 = (1023/1024)√3


第 3 題
(1) (x - 1) / x = 0
數列收斂至 0
此時 x = 1

(2) (x - 1) / x ≠ 0
-1 ＜ (x - 1) / x ≦ 1 時，數列收斂
上面這個不等式可分成 x ＞ 0 和 x ＜ 0 分別去解

此題答案是 x ＞ 1/2


第 4 題
令
b_n = 1 * 3 + 3 * 5 + ...... + (2n - 1)(2n + 1)
= Σ(2k - 1)(2k + 1)　(k = 1 ~ n)
= Σ(4k^2 - 1)　(k = 1 ~ n)
= 4Σk^2 - n　(k = 1 ~ n)
= 4 * [n(n + 1)(2n + 1) / 6] - n
= (4n^3 + ......) / 3

lima_n = lim(b_n / n^3) = 4/3