99桃園第34題

[j2e037]

34. x^2+y^2=8，則xy的最小值是多少?
Ans: -4
請問老師這題要怎麼解?謝謝!

[thepiano]

[x/(2√2)]^2 + [y/(2√2)]^2 = 1
令 x = 2√2cosθ，y = 2√2sinθ
xy = 4sin2θ ≧ -4

[thepiano]

柯西不等式
(x^2 + y^2)(y^2 + x^2) ≧ (xy + xy)^2
4(xy)^2 ≦ 64
-4 ≦ xy ≦ 4

[ellipse]

34. x^2+y^2=8，則xy的最小值是多少?
Ans: -4
請問老師這題要怎麼解?謝謝!

也可以用以下圖形來看

[ellipse]

34. x^2+y^2=8，則xy的最小值是多少?
Ans: -4
請問老師這題要怎麼解?謝謝!

另解:
令t=x+y ,k=xy
則x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=t^2-2k=8
所以t^2=2k+8>=0
2k>=-8
k>=-4
因此xy>=-4

[thepiano]

期待第 5 個解法

[ellipse]

期待第 5 個解法

此題的x,y應該屬於實數吧?

第5個解法:
(i)當x=0時
y^2=8,y=8^0.5或-8^0.5
此時xy=0

(ii)當x不為0時
令xy=k, y=k/x代入 x^2+y^2=8
x^2+(k/x)^2=8
x^4-8x^2+k^2=0
令t=x^2,則t^2-8t+k^2=0的解t1,t2>=0,且為實數(判別式D>=0)
檢驗t1+t2=8>0 ,t1*t2=k^2>=0 (符合)
D=8^2-4*k^2>=0 ,k^2<=16
得-4<=k<=4

由(1)&(2)得xy的最小值為-4

[ellipse]

第6個作法:
令x^2=4+t,y^2=4-t
因為x^2,y^2>=0,所以-4<=t<=t
又xy=(+或-)(4+t)^0.5*(4-t)^0.5
=(+或-)(16-t^2)^0.5
當xy=-(16-t^2)^0.5且t=0時
xy有最小值-4

( -(16-t^2)^0.5圖形表示x軸下方的半圓,
當t=0時,此時函數值=-4為最小值 )

[ellipse]

昨晚睡夢中又想到3種作法
但還是先期待鋼琴兄新的作法

[thepiano]

一題多解，不容易的，所以除了微分，小弟想不到其它的方法了