三角函數

[happy520]

有一扇形中心角為60度,若此扇形之面積為A,其內切圓之面積為B,求A:B


二角的弧度和為10,其度數的差為10度/π,求此角的弧度數

一皮帶緊繞在以A,B為中心的圓輪上,而且交叉繞此二輪,大輪半徑為2,小輪半徑為1,已知AB=6,求皮帶長

求(1+tan1)(1+tan2)+........+(1+tan44)=?

[thepiano]

第 1 題
令扇形半徑為 a，其內切圓半徑為 r
則 r / (a - r) = sin(60/2)∘ = 1/2
a = 3r
......


第 2 題
1 度 = (π/180)弧度

a + b = 10
a - b = π/18
解聯立


第 3 題
兩圓外離，皮帶呈 8 字形
令大圓圓心為 A，小圓圓心為 B，皮帶交叉點為 C
由 A 往皮帶作垂線，令垂足分為 D，E
由 B 往皮帶作垂線，令垂足分為 F，G

AD = AE = 2，BF = BG = 1
易由相似形對應邊成比例知 CA = 4，CB = 2
再由畢氏定理知 CD = CE = 2√3，CF = CG = √3

又 ∠DAE = ∠FBG = 120∘
所求 = 弧 DE(240∘) + 弧 FG(240∘) + CD + CE + CF + CG = 4π + 6√3


第 4 題
tan1 = tan(45 - 44)
= (tan45 - tan44) / (1 + tan45 * tan44)
= (1 - tan44) / (1 + tan44)

(1 + tan1)(1 + tan44)
= {1 + [(1 - tan44) / (1 + tan44)]}(1 + tan44)
= 1 + tan44 + 1 - tan44
= 2

同理 (1 + tan2)(1 + tan43) = (1 + tan3)(1 + tan42) = ...... = (1 + tan22)(1 + tan23) = 2

所求 = 2^22