駭客數學p5-22、P6-6、P6-16

[yaai0307]

1.設方程式x^3-(2p+1)x+2p=0有二根相等，則p=？

2.x(2x-3)(x+1)+(2x+4)(x+4)+(x-16)=0共有幾個實根？

p6-6
1.解不等式|x+2|+|x-3|<=8

2.下列不等式何者恆成立？
(A) 2X^2+3X-7>0
(B) X^2+X+4<0
(C) -X^2+2X-5<0
(D) X^2-2X+1>0

P6-16
已知X>-1，若Y=X-2+ (1/X+1)，則當Y之最小值=A，此時X=B，求AB=？

[thepiano]

p5-22
第 1 題
x^3 - (2p + 1)x + 2p 之係數和為 0，必有 x - 1 這個因式
x^3 - (2p + 1)x + 2p = 0
(x - 1)(x^2 + x - 2p) = 0

(1) 相等的兩根是 1
則 1^2 + 1 - 2p = 0
p = 1

(2) 相等的兩根不是 1
則 x^2 + x - 2p = 0 有等根
1^2 - 4(-2p) = 0
p = -1/8


第 2 題
乘開化簡可得 2x^3 + x^2 + 10x = 0
x(2x^2 + x + 10) = 0
故只有 0 這 1 個實根


P6-6
第 1 題
(1) x ≧ 3
x + 2 + x - 3 ≦ 8
x ≦ 9/2
3 ＜ x ≦ 9/2

(2) -2 ＜ x ＜ 3
x + 2 - x + 3 ≦ 8
恆成立

(3) x ≦ -2
-x - 2 - x + 3 ≦ 8
x ≧ -7/2
-7/2 ≦ x ≦ -2

綜合 (1)，(2)，(3)
-7/2 ≦ x ≦ 9/2


第 2 題
(A) 2x^2 + 3x - 7 = 2(x + 3/4)^2 - 65/8
當 x = -3/4 時，2x^2 + 3x - 7 ＜ 0

(B) x^2 + x + 4 = (x + 1/2)^2 + 15/4 ＞ 0

(C) -x^2 + 2x - 5 = -(x^2 - 2x + 5) = -[(x - 1)^2 + 4]
(x - 1)^2 + 4 恆大於 0，-x^2 + 2x - 5 恆小於 0

(D) 當 x = 1 時，x^2 - 2x + 1 = 0


P6-16
y = x - 2 + [1/(x + 1)]
y(x + 1) = (x - 2)(x + 1) + 1
x^2 - (y + 1)x - (y + 1) = 0
由於 x 為實數
故判別式 [-(y + 1)]^2 - 4[-(y + 1)] ≧ 0
(y + 1)^2 + 4(y + 1) ≧ 0
(y + 1 + 2)^2 ≧ 2^2
y ≧ -1 或 y ≦ -5 (不合，因為 x ＞ -1，x - 2 ＞ -3，1/(x + 1) ＞ 0)

故 A = -1，B = 0

[yaai0307]

老師，謝謝您！

[shih_hui3]

鋼琴老師補一題也是不等式的問題

(P6-19)
設a、b、c、d皆為實數且a^2+b^2=4，c^2+d^2=9，試求ab+cd的最大值M=?

駭客上面的解答是
(a^2+b^2)/2>=√a^2b^2) ∴ab<=2

(c^2+d^2)/2>=√c^2d^2) ∴cd<=9/2

不太懂為什麼這兩個式子是怎麼演變的><

[thepiano]

這是"算幾不等式"

可參考 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97% ... 9%E5%BC%8F

[shih_hui3]

設f(x)=cos^2+1/2sinx-1，求f(x)的最大值？

他的解法是這樣：
f(x)=(1-sin^2x)+1/2sinx-1
=-sin^x+1/2sinx
當sinx=- (1/2)/2(-1)＝1/4時，f(x)有最大值1/16


鋼琴老師完全不懂紅色那邊...
求您解惑了><

[thepiano]

那是配方法 ...

f(x) = ax^2 + bx + c
= a[x^2 + (b/a)x] + c
= a[x + b/(2a)]^2 + c - b^2/(4a)
= a[x + b/(2a)]^2 + [-(b^2 - 4ac)/(4a)]
a ＞ 0，x = -b/(2a) 時，f(x) 有最小值 -(b^2 - 4ac)/(4a)
a ＜ 0，x = -b/(2a) 時，f(x) 有最大值 -(b^2 - 4ac)/(4a)

[shih_hui3]

所以只是純粹單純的「套公式」而已嘛？
謝謝鋼琴老師的解惑：）