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5題數學問題

發表於 : 2009年 4月 5日, 18:02
thomson0815
從別的版上看到,自己試看看但無法解答,有請指點 謝謝

1.某加油站有三位員工,從今年1月1日起規定,第一位員工每工作3
天休息一天,第二位員工每工作5天休息二天,第三位員工每工作7
天休息三天,當三人都休息時,必須另聘二位臨時工,當有二人休息
時,必須另聘一位臨時工,但只有一人休息時,則不需另聘臨時工,
請問今年共需聘請臨時工多少人次?
ANS:81

2.已知一個九位數為ABCDEDCBA,它既可以被11整除,也可以被3整除
,並且A>B>C>D>E>0,試求最小的數為多少?
ANS:854212458

3.某人沿著雙軌電車旁踏單車,每隔12分鐘就有ㄧ輛電車從後
面超過他,每4分鐘有電車迎面駛來,若人、車速度不變,那麼,
每隔多少分鐘有電車從兩面的總站同時開出?
ANS:6分鐘

4.甲乙丙三隻螞蟻爬行的速度比是8:6:5,他們沿一個圓圈從一點同
時同向爬行,當他們首次同時回到出發點時,就結束爬行,問螞蟻甲
追上螞蟻乙共幾次?(包括結束時刻)
ANS:2次

5.一根長為L的木棍,用紅色刻度線將他分為M等分,用黑色刻度線將
他分為N等分(M>N),如果按照刻度線將木棍鉅成小段,一共可以得
到170跟長短不一的小棍,其中較長的小棍有100根,試求M與N值。
ANS:M=135 N=40

Re: 5題數學問題

發表於 : 2009年 4月 6日, 09:27
thepiano
第 1 題
看完題目就昏了
不過應該不難


第 2 題
A + C + E + C + A = B + D + D + B + 11
2(A + C) + E = 2(B + D) + 11
故 E 必為 1 or 3 or 5

(1) E = 5
987656789 非 3 之倍數,不合

(2) E = 3
A + C = B + D + 4
A + B + C + D ≡ 0 (mod 3)
(i) A = 7
A + B + C + D = 7 + 6 + 5 + 4 ≡ 1 (mod 3),不合
(ii) A = 8
4 + C = B + D
B,C,D 從 7 ~ 4 取
易知無一符合
(iii) A = 9
5 + C = B + D
B,C,D 從 8 ~ 4 取
易知僅 965434569 符合所求

(3) E = 1
A + C = B + D + 5
A + B + C + D ≡ 1 (mod 3)
(i) A = 5
A + B + C + D = 5 + 4 + 3 + 2 ≡ 2 (mod 3),不合
(ii) A = 6
1 + C = B + D
B,C,D 從 5 ~ 2 取
易知無一符合
(iii) A = 7
2 + C = B + D
B,C,D 從 6 ~ 2 取
易知無一符合
(iv) A = 8
3 + C = B + D
B,C,D 從 7 ~ 2 取
易知僅 854212458 符合所求
以下就不用再做了 ......


第 3 題
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=36629


第 4 題
甲乙丙速度比是 8:6:5
故牠們首次同時回到出發點時,甲繞了 8 圈,乙繞了 6 圈,甲繞了 5 圈
每多繞一圈就追過 1 次


第 5 題
先從紅色刻度線鋸,會得到題目裡的"較長的小棍"

再從黑色刻度線鋸,之前那 M 根"較長的小棍"中,會有一些被鋸成"長短不一的小棍"
而每根"較長的小棍"都被鋸成 2 根"長短不一的小棍"

(1)易知 M = 100 + (170 - 100)/2 = 135

(2) 由 (1) 知,有 35 根"較長的小棍"被鋸成"長短不一的小棍"
故 N - 35 = (135,N)
由於 (135,N) 是 N 的因數,所以 (135,N) 也是 35 的因數
(135,N) 是 135 和 35 的公因數
(135,N) = 1,5
(i) (135,N) = 1,N = 36
(135,36) = 9 不合
(ii) (135,N) = 5,N = 40
(135,40) = 5 合

Re: 5題數學問題

發表於 : 2009年 4月 8日, 08:32
thepiano
第 1 題
做苦工的題目,教甄不會考吧?

設第一位員工在今年的第 a 天休假,第二位員工在今年的第 b 天休假,第三位員工在今年的第 c 天休假
1 ≦ a,b,c ≦ 365


a ≡ 0 (mod 4)
b ≡ 0 (mod 7),b ≡ 6 (mod 7)
c ≡ 0 (mod 10),c ≡ 9 (mod 10),c ≡ 8 (mod 10)

有二人同時休假的情形
(1) a ≡ 0 (mod 4),b ≡ 0 (mod 7)
a = b = 28,56,84,......,364
計 13 種
(2) a ≡ 0 (mod 4),b ≡ 6 (mod 7)
a = b = 20,48,76,......,356
計 13 種
(3) a ≡ 0 (mod 4),c ≡ 0 (mod 10)
a = c = 20,40,60,......,360
計 18 種
(4) a ≡ 0 (mod 4),c ≡ 8 (mod 10)
a = c = 8,28,48,......,348
計 18 種
(5) b ≡ 0 (mod 7),c ≡ 0 (mod 10)
b = c = 70,140,210,......,350
計 5 種
(6) b ≡ 0 (mod 7),c ≡ 9 (mod 10)
b = c = 49,119,189,......,329
計 5 種
(7) b ≡ 0 (mod 7),c ≡ 8 (mod 10)
b = c = 28,98,168,......,308
計 5 種
(8) b ≡ 6 (mod 7),c ≡ 0 (mod 10)
b = c = 20,90,160,......,300
計 5 種
(9) b ≡ 6 (mod 7),c ≡ 9 (mod 10)
b = c = 69,139,209,......,349
計 5 種
(10) b ≡ 6 (mod 7),c ≡ 8 (mod 10)
b = c = 48,118,188,......,328
計 5 種

有三人同時休假的情形
(11) a ≡ 0 (mod 4),b ≡ 0 (mod 7),c ≡ 0 (mod 10)
a = b = c = 140,280
計 2 種
(12) a ≡ 0 (mod 4),b ≡ 0 (mod 7),c ≡ 8 (mod 10)
a = b = c = 28,168,308
計 3 種
(13) a ≡ 0 (mod 4),b ≡ 6 (mod 7),c ≡ 0 (mod 10)
a = b = c = 20,160,300
計 3 種
(14) a ≡ 0 (mod 4),b ≡ 6 (mod 7),c ≡ 8 (mod 10)
a = b = c = 48,188,328
計 3 種

由於第 (11) 種情形在 (1),(3),(5) 都算過一次了
2 - (1 + 1 + 1) = -1

故所求 = (13 + 13 + 18 + 18 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5) - (2 + 3 + 3 + 3) = 81