美夢成真教甄討論區

1.(題目來源：駭客數學4-16)
令a=cos13π/11π，b=cos28π/11，c=cos(-36π/11)，將a、b、c依大小排列

cos的情形不是從0到π/2是越變越小嗎....?
那這題為什麼是a最小呢？


2.(題目來源：駭客數學4-29)
設f(x)=sinx+√3cosx，x在區間[0,π/2]範圍內最大值為a，最小值為b，則a+b=
(A)√3+1 (B)√3 (C)3/2 (D)√3-1/2
真正的答案說是3，但是我的解答卻都不是...

3.(題目來源：駭客數學4-50)
在塔的正西A點與塔的正南B點，測得塔的仰角分別為45度與15度，設AB的長度為100公尺，求塔高大約為多少公尺？(已知cos15度=3.732)
(A)66.82公尺 (B)54.34公尺 (C)37.32公尺 (D)25.88公尺

鋼琴老師，我這題有個疑問，他給的是cos，可是沒有給斜邊的長度，怎麼會是用cos....完全不能理解呀>"<

4.(題目來源：駭客數學4-56)
若ab=1，且a+b=1，則a^99+b^99=?
(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2

這題是安排在隸美弗定理裡面，可是怎麼變成Z+1/Z的形式呢?


謝謝鋼琴老師:)

第 1 題
a = cos(13π/11) = cos(9π/11)
b = cos(28π/11) = cos(6π/11)
c = cos(-36π/11) = cos(8π/11)
9π/11，6π/11，8π/11 均位於第二象限
而 cosx 在第二象限遞減，故 a 最小沒錯


第 2 題
最大是 2，此時 x = π/6
最小是 1，此時 x = π/2


第 3 題
應是 cot15度 = 3.732


第 4 題
ab = 1，b = 1/a
a + b = a + 1/a = 1
a^99 + b^99 = a^99 + 1/a^99 ......

鋼琴老師，關於第4題

列出a^99+1/a^99之後
要怎麼算呢?

也是弄成z+1/Z=2costhita嗎?

利用 a + 1/a = 2cosθ，則 a^n + 1/a^n = 2cos(nθ)
n = 99，θ 取 π/3

也可以這樣做
a 和 b 是 x^2 - x + 1 = 0 之二根
即 a = -ω，b = -ω^2，其中 ω = (-1 ±√3i) / 2，而 ω^3 = 1
a^99 + b^99 = -(ω^3)^33 + [-(ω^3)^66] = -2