美夢成真教甄討論區

1. 12個兩兩相交的圓,可以分割成幾個平面?......答案不確定,因為參考的兩本書目解答不一樣
2. 圓上6點所連成的弦,可將圓分成幾個區域? ......答案為31個
只能用畫圖的方法解嗎?

第 1 題
參考附圖
綠點：原有的交點
紅點：新增的交點
新增 1 個交點就多 1 個區域

一個圓：2 個

二個圓：新增 2 個交點 → 2 + 2 個

三個圓：新增 4 個交點 → 2 + 2 + 4 個

四個圓：新增 6 個交點 → 2 + 2 + 4 + 6 個

五個圓：新增 8 個交點 → 2 + 2 + 4 + 6 + 8 個
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n 個圓：新增 2(n - 1) 個交點 → 2 + 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2(n - 1) 個

2 + 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2(n - 1)
= 2 + {[2 + 2(n - 1)] * (n - 1)} / 2
= 2 + n(n - 1)
= n^2 - n + 2


第 2 題
一開始是 1 個區域
每多 1 條弦就多 1 個區域，6 個點決定 C(6，2) 條弦
每 2 條弦(由 4 個相異點連接而成)最多 1 個交點，每多 1 個交點就多 1 個區域，6 個點最多決定 C(6，4) 個交點
所求 = 1 + C(6，2) + C(6，4) = 31

感謝鋼琴老師的詳解