美夢成真教甄討論區

有幾題數學不會
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第 1 題
∠ODE = ∠CAE = 90 度
又 ∠DOE + ∠DEO = ∠ACE + ∠DEO = 90 度
∠DOE = ∠ACE
△DOE 和 △ACE 相似
DO = AB/2 = 19
令 DE = x，OE = 76 - x - 19 = 57 - x
19^2 + x^2 = (57 - x)^2
x = 76/3

DE = 76/3，AE = 19 + 57 - 76/3 = 152/3
故 △ACE 之周長為 △DOE 周長之 2 倍 = 76 * 2 = 152


第 2 題
直線 L 之斜率為 -2
直線 M 之斜率為 1
若 θ 為銳角
tanθ = |(-2 - 1)/[1 + (-2) * 1]| = 3
sinθ = 3/√(3^2 + 1^2) = (3/10)√10


第 3 題
4.5 ＜ n ≦ 8.5
n = 5，6，7，8

第 4 題
令塔頂 C，塔腳 O，塔高 OC = x
OA = x
∠AOB = 90 - 60 = 30 度
BO = √3x

由餘弦定理
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 * OA * OB * cos∠AOB
150^2 = x^2 + 3x^2 - 3x^2
x = 150


第 5 題
α + β = -a
αβ = b

α - 1 + β - 1 = b
α + β = b + 2
(α - 1)(β - 1) = a
αβ - (α + β) + 1 = a
b + a + 1 = a
b = -1
a = -1


第 6 題
令 L 之方程式為
x = 1 + t
y = 2 + t
z = 3 + t
若 QR 垂直 L 於 R(1 + t，2 + t，3 + t)

Q(3，2，1)
向量 QR = (-2 + t，t，2 + t)
(-2 + t，t，2 + t)‧(1，1，1) = 0
-2 + t + t + 2 + t = 0
t = 0
R(1，2，3)

QR = 2√2


第 7 題
n^4 - 38n^2 + 169
= (n^2 + 13)^2 - 26n^2 - 38n^2
= (n^2 + 13)^2 - (8n)^2
=(n^2 + 8n + 13)(n^2 - 8n + 13) 是質數
故 n^2 - 8n + 13 = 1
n = 2 or 6
n^2 + 8n + 13 = 33 (不合) or 97