美夢成真教甄討論區

想請問第13.16.24.25.29.34.48題
謝謝老師

第 13 題
分部積分
∫[xf''(x)]dx = x * f'(x) - ∫f'(x)dx = x * f'(x) - f(x)
所求 = 3 * f'(3) - f(3) - [0 * f'(0) - f(0)] = 18 - 5 - (-4) = 17


第 16 題
沒學過，Sorry！


第 24 題
作 DE 垂直 BC 於 E，作 AF 垂直 DE 於 F
∠C = 30 度，∠CDE = 60 度，∠ADE = 30 度，∠DAF = 60 度
DF = 10√3，FE = AB = 5√3，CD = 30√3
AC = √(AD^2 + CD^2) = 10√31


第 25 題
一顆骰子點數為 (1，2，3，4，5，5)；另一顆骰子點數為 (1，2，3，4，6，6)
點數和是偶數的情形有以下 16 種
(1，1)，(1，3)，(3，1)，(3，3)，(5，1)，(5，3)，(5，1)，(5，3)
(2，2)，(2，4)，(2，6)，(2，6)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(4，6)

所求 = 16/6^2


第 29 題
(A) -1 ≦ sin(3x) ≦ 1，-2 ≦ 2sin(3x) ≦ 2
(B) 2sin(3 * π/6) = 2sin(π/2) = 2 是最大值
(C) 2sin(3x) 的週期是 (2/3)π
(D) π ≦ 6 ≦ 2π，sin(6) ＜ 0，f(2) ＜ 0


第 34 題
重積分
R：{(r，θ)| 0 ≦ θ ≦ 2π，0 ≦ r ≦ 1}
x^2 + y^2 = r^2
所求 = ∫∫(r^2 + 3)rdrdθ　(從 0 積到 1)(從 0 積到 2π)
= ∫∫(7/4)dθ　(從 0 積到 2π)
= (7/2)π


第 48 題
題目有問題

第48題 如果把範圍改成-pi/2<θ<0 好像有解了

若-pi/2<θ<0 , sinθ+cosθ=1/5, 求cosθ=?
這樣類型的問題 如何解呢

謝謝老師

-π/2 ＜ θ ＜ 0
sinθ ＜ 0
cosθ ＞ 0

sinθ + cosθ = 1/5 ...... (1)
(sinθ + cosθ)^2 = 1/25
2 * sinθ * cosθ = -24/25

(sinθ - cosθ)^2 = 1 - (-24/25) = 49/25
sinθ - cosθ = -7/5 ...... (2)

(1) - (2)
cosθ = 4/5

謝謝thepiano老師

請問8.11.33.36.46題
第33題
我選B
第36題
我算的答案是
S+21/7
奇怪哪錯了
第46題
我用兩平面的法向量
(2,-1,2)
(3,0,-4)
再利用
內積公式求COS
可是會是-2/15
哪算錯了
謝謝老師
指點迷津

第 8 題
(d/dx)arctan(u) = 1/(1 + u^2) * (du/dx)


第 11 題
y = e^(kx)
y' = k * e^(kx)
y'' = k^2 * e^(kx)

k^2y - 4ky + 4y = 0
y(k^2 - 4k + 4) = 0
y(k - 2)^2 = 0
k = 2　(y 不為 0)


第 33 題
(B) 是錯的，發散級數的和 - 發散級數的和不一定會收斂
(C) 此為收斂"級數"，其收斂值為 ln2 ＜ 5/6


第 36 題
答案是 (S + 21) / 7 沒錯！


第 46 題
此題最後應是求 sinA 才對

若兩平面之夾角為 θ，而 A 是 θ 中較小之銳角
cosθ = -2/15
θ 是鈍角
cosA = cos(π - θ) = -cosθ = 2/15
sinA = √221 / 15

第16題
首先你要了解:
(1)累積分配函數F(x)=P(X<x) 即代表X變數小於x值的機率
(a) 若X為連續型變數,則F(X<x)=-∞->x∫f(t)dt (由負無窮大積到x)
(b)由微積分基本定理可知,F'(x)=f(x) (f為probability density function)
(2)連續型變數的期望值E(X)=-∞->∞∫xf(x)dx (由負無窮大積到正無窮大)

解題的第一步,先由累積分配函數F(x)的微分得到f(x)
接著再去算E(X)=-∞->∞∫xf(x)dx即可

F'(x)=(2/3)×e^(-x)=f(x)
E(X)=-∞->∞∫xf(x)dx=0->∞∫x(2/3)×e^(-x)dx
=(2/3)×[ 0->∞∫xe^(-x)dx] 接著再用分部積分 u=x, dv=e^(-x)dx
....即可得到答案!