美夢成真教甄討論區

第20題、第21題、第26題、第29題

麻煩高手解惑,拜託了
謝謝

第 20 題
60% 猜答案，猜對的機率是 1/5
所求 = 40% / [40% + 60% * (1/5)]


第 21 題
定坐標 A(0，0)，B(0，b)，C(c，0)
則 G(c/3，b/3)
O 是 BC 中點，O(c/2，b/2)
再來就簡單了......


第 26 題
a + (a + 2d) + (a + 4d) + ...... + (a + 28d) = 30 ...... (1)
(a + d) + (a + 3d) + (a + 5d) + ...... + (a + 29d) = -30 ...... (2)
(2) - (1)
15d = -60
d = -4

由 (1)
15a + 210d = 30
a = 58


第 29 題
一個整數的平方除以 8 的餘數只有 0，1，4 三種情形
二個整數的平方和除以 8 的餘數只有 0，1，4，2，5，8 三種情形

第 29 題
一個整數的平方除以 8 的餘數只有 0，1，4 三種情形
二個整數的平方和除以 8 的餘數只有 0，1，4，2，5，8 三種情形

不懂這個怎麼來的

一個整數除以 8 的餘數有 0，1，2，3，4，5，6，7 這八種情形

一個整數的平方除以 8 的餘數有
0^2 ≡ 0 (mod 8)
1^2 ≡ 1 (mod 8)
2^2 ≡ 4 (mod 8)
3^2 ≡ 1 (mod 8)
4^2 ≡ 0 (mod 8)
5^2 ≡ 1 (mod 8)
6^2 ≡ 4 (mod 8)
7^2 ≡ 1 (mod 8)
以上只有 0，1，4 三種情形

第二句小弟打錯了，應是
二個整數的平方和除以 8 的餘數只有 0，1，4，2，5 這五種情形

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
0 + 4 = 4
1 + 1 = 2
1 + 4 = 5
4 + 4 ≡ 0 (mod 8)

請問第1,8,9,40,48,45,43題
謝謝老師

第 1 & 8 & 45 題
http://forum.nta.org.tw/examservice/sho ... hp?t=50752


第 9 題
5/7
= 7/14 + 3/14
= 1/2! + 7/42 + 2/42
= 1/2! + 1/3! + 7/168 + 1/168
= 1/2! + 1/3! + 1/4! + 5/840
= 1/2! + 1/3! + 1/4! + 0/5! + 28/5040 + 2/5040
= 1/2! + 1/3! + 1/4! + 0/5! + 4/6! + 2/7!


第 40 題
x^3 - 8x^2 + 8x - 1
= (x - 1)(x^2 - 7x + 1)

令 a = 1，b + c = 7，bc = 1

b^2 + c^2 = (b + c)^2 - 2bc = 47
b^2c^2 = 1

a^6 + b^6 + c^6 = 1 + (b^2 + c^2)^3 - 3b^2c^2(b^2 + c^2) = 1 + 47^3 - 3 * 47 ≡ 1 + 3 - 1 ≡ 3 (mod 10)


第 43 題
若 cosx ≧ 0
y = sinx + √3 * cosx = 2cos(x - π/6) 有最大值 2
最小值就是讓絕對值裡的 cosx = 0，而 sinx = -1


第 48 題
與橢圓 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 相切且斜率為 m 之直線方程式為 y = mx ± √(a^2m^2 + b^2)

(y - mx)^2 = a^2m^2 + b^2
(x^2 - a^2)m^2 - 2xym + (y^2 - b^2) = 0

若兩切線互相垂直
則上列 m 之方程式的兩根積為 -1
(y^2 - b^2) / (x^2 - a^2) = -1
x^2 + y^2 = a^2 + b^2

原題之橢圓為 x^2 + y^2/4 = 1
a = 1，b = 2

解以下聯立方程式可得 P 點之坐標為 (2，1)
x^2 + y^2 = 5
2x + y = 5

再請教第10,50,12,16,35,37,32題
謝謝老師

第 10 題
固定 B 點旋轉 △APB 使 AB 與 CB 重合
假設 P 點旋轉至 P' 點
則 P'B = 2，P'C = 1，∠PBP' = ∠PP'C = 90 度
......


第 12 & 16 題
viewtopic.php?f=10&t=74


第 32 題
viewtopic.php?f=10&t=239


第 35 題
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=23443


第 37 題
參考以下連結之做法
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=32805
餘數應是 4，官方解答錯誤！


第 50 題
viewtopic.php?f=10&t=78

請問何以得知
第4題的CF=5呢
想很久
連 CF，可把 ABCDEF 分成 ABCF 和 DEFC 兩個等腰梯形
易求出 CF = 5，ABCF = 6√3，DEFC = (21/4)√3

謝謝老師

ABCF 是等腰梯形
作 AG 和 BH 分別垂直 CF 於 G 和 H
∠AFG = 60 度，∠FAG = 30 度
FG = AF/2 = 2
同理 CH = 2
GH = AB = 1
......