106新北市國中數學科試題與答案

[ksjeng]

如附檔

[eric6204]

請教一些題目，4，5，7，11，26，28，32，題目有點多，感謝。

[thepiano]

第 4 題
250 = 2 * 5^3
和 250 的最大公因數是 10，表示此數是 10 的倍數，但非 50 (=2 * 5^2) 的倍數
所求 = 1000/10 - 1000/50 = 80
官方的解答有問題


第 5 題
若 12 是斜邊，則面積最大值 = (1/2) * (12/√2)^2 = 36
若 12 是一股，設另一股為 a，斜邊為 b
a^2 + 12^2 = b^2
(b - a)(b + a) = 2 * 72 = 4 * 36 = ...... = 18 * 8
易知 a 的最大值為 35
所求為 6a = 210


第 7 題
此乘積 = [(1 + 2 + ... + n)^2 - (1^2 + 2^2 + ... + n^2)] / 2
[n(n + 1)/2]^2 - n(n + 1)(2n + 1)/6 = 35 * [n(n - 1)/2] * 2
這是一個四次方程，解完，其它題目也不用寫了，就送他吧
不然就選項代入法


第 11 題
121 = 11 * 11
把所有整數都 mod 11，會有 0 ~ 10 這 11 種情形

先取 11 個整數，其 mod 11 後是 0 ~ 10 這 11 種情形
再多 2 個，就會產生兩組數，每一組中的兩數 mod 11 後會相等
同一組中的兩數相減會產生 1 個 11 的倍數
所求 = 11 + 2 = 13


第 26 題
先算有幾個直角三角形
考慮圓內接正十二邊形
要形成直角三角形，三個內角所對的弧數分是 (6，5，1)、(6，4，2)、(6，3，3) 這三種
(6，5，1) 有 12 * 2 = 24 個
(6，4，2) 有 12 * 2 = 24 個
(6，3，3) 有 12 個
所求 = C(12，3) - (24 + 24 + 12) = 160 個


第 28 題
4√(4a + 3) = a^2 - 3
16(4a + 3) = (a^2 - 3)^2
a^4 - 6a^2 - 64a - 39 = 0
(a^2 - 4a - 3)(a^2 + 4a + 13) = 0
a^2 + 4a + 13 ＞ 0
故 a^2 - 4a - 3 = 0
a = 2 + √7 or 2 - √7 (不合，兩邊平方後的增根)


第 32 題
令求值式 = x ＞ 0
則 x^2 = x + 6
x = 3

[eric6204]

OK謝謝老師~~來研究研究看看。

[DM24Tim]

借問一下第10題

我代a=-1 b=9符合三個不等式
但(-1,-1) (-3,0) (-1,9)三點算出來的三角形面積不是應該是10嗎...

話說這份第一面真難 後面反而相對簡單
但是第一頁就遇到兩題覺得答案有問題的 讓我困惑好久...

7~9則是直接跳過不想算= =

[thepiano]

借問一下第10題
我代a=-1 b=9符合三個不等式
但(-1,-1) (-3,0) (-1,9)三點算出來的三角形面積不是應該是10嗎...

這題最大值是 10 才對！

[eric6204]

請教一下，8,9,19,21,23,27，謝謝~~.

[thepiano]

第 8 題
sinx + 4siny + 4√[(1 + sinx)(1 + siny)] = 7
(1 + sinx) + 4(1 + siny) + 4√[(1 + sinx)(1 + siny)] = 12
[√[(1 + sinx) + 2√(1 + siny)]^2 = 12

由柯西不等式
[(1 + sinx) + (1 + siny)](1 + 4) ≧ [√[(1 + sinx) + 2√(1 + siny)]^2 = 12
sinx + siny ≧ 2/5


第 9 題
代數字比較快
n = 2，m = 5
n = 12，m = 961


第 19 題
固定 A 點，順時針旋轉 △APD，讓 D 點和 B 點重合，設 P 點旋轉到 P' 點
AP' = AP = 1，∠PAP' = 90 度，∠AP'P = 45 度
PP' = PB = √2，BP' = PD = 2，∠P'PB = 45 度
∠AP'B = 90 度，ABCD = AB^2 = AP'^2 + BP'^2 = 5


第 21 題
三紅機率 = (2/5)(2/4)(5/6) = 20/120
兩紅一藍機率 = (3/5)(2/4)(5/6) + (2/5)(2/4)(5/6) + (2/5)(2/4)(1/6) = 54/120
p = 20/120 + 54/120 = 74/120
答案應是 (D) 才對


第 23 題
若西元 N 年是平年，第 300 天後還有 65 天
(65 + 200) / 7 = 37 ... 6
則西元 N+1 年的第 200 天是星期六，不合
故西元 N 年是閏年

西元 N 年的第 299 天到西元 N-1 年的第 100 天，有 299 + 266 = 565 天
565 / 7 = 80 ... 5

所求 = 7 - 5 = 2，星期二


第 27 題
任意 5 數的和，都是 15 的倍數，有兩種選法
(1) 都選 15 的倍數，有 13 個
(2) 都選除以 15 餘 3 的數，有 14 個
所求 = 3 + 18 + 33 + ... + 198 = 1407

[kyrandia]

借問一下第10題
我代a=-1 b=9符合三個不等式
但(-1,-1) (-3,0) (-1,9)三點算出來的三角形面積不是應該是10嗎...

這題最大值是 10 才對！

我怎麼覺得這一題最大值不存在 是我錯了嗎.....

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[thepiano]

您是對的，出題者打錯第一個條件，也打錯選項
應是 a + b ≦ 8，這樣答案才是 10

然後今年的 TRML 個人賽也出了這題，不過已修正錯誤