- 新竹市立建功高中107學年度第一次正式教師甄試國中數學科試題0204_答案.pdf
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107建功高中_國中部
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lovecatbest63
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Re: 107建功高中_國中部
填充
第 2 題
設 1 ＜ a ≦ b ≦ c
19/20 ＜ 1/a + 1/b + 1/c ≦ 3/a
19a ＜ 60
a = 2 or 3
(1) a = 2
9/20 ＜ 1/b + 1/c ≦ 2/b
9b ＜ 40
b = 3 or 4
(i) b = 3
7/60 ＜ 1/c ＜ 1/6
c = 7 or 8
......
a + b + c 之最小值為 2 + 3 + 7 = 12
第 5 題
0 ＜ y^2 ＜ 1
2017 ＜ x^2 ＜ 2018
x = 44 + y
(44 + y)^2 + y^2 = 2018
y = - 22 + 5√21
x = 22 + 5√21
第 6 題
a_1 用 a 取代，b_1 用 b 取代
設 a_n 的公比 x，b_n 的公比 y
a + b = 24
ax + by = -4
ax^2 + by^2 = 86
ax^3 + by^3 = 71
求 ax^4 + by^4 = ？
ax^(n + 1) + by^(n + 1) = (x + y)(ax^n + by^n) - xy[ax^(n - 1) + by^(n - 1)]
-4(x + y) - 24xy = 86
86(x + y) + 4xy = 71
x + y = 1，xy = -15/4
ax^4 + by^4 = (ax^3 + by^3) + (15/4)(ax^2 + by^2) = 71 + (15/4) * 86 = 787/2
第 9 題
f(x) = 3|x - 1/3| + 5|x - 1/5| + 7|x - 1/7| + 9|x - 1/9| + 11|x - 1/11| + 13|x - 1/13|
拆開的話有 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 48 個絕對值
f(x) 的最小值出現在 13 個 1/13，11 個 1/11，9 個 1/9，7 個 1/7，5 個 1/5，3 個 1/3 排成一列的中位數
即第 24 個的 1/11 和第 25 個的 1/9 的平均數
此時 a = 1/11，b = 1/9，c = 2
abc = 2/99
第 10 題
n = (10 - 1) + (10^2 - 1) + ... + (10^99 - 1)
= 111......1110 (有 99 個 1 和 1 個 0) - 99
= 111......1011 (有 97 個 1 和 1 個 0 和 2 個 1)
所求為 99 個
計算
第 3 題
-1 ≦ x ≦ 1
-1 ≦ y ≦ 1
令 x = sinα，y = sinβ，由於要最大值，θ 取第一象限的角
x√(1 - y^2) + y√(1 - x^2)
= sinαcosβ + sinβcosα
= sin(α+β)
最大值為 1
第 2 題
設 1 ＜ a ≦ b ≦ c
19/20 ＜ 1/a + 1/b + 1/c ≦ 3/a
19a ＜ 60
a = 2 or 3
(1) a = 2
9/20 ＜ 1/b + 1/c ≦ 2/b
9b ＜ 40
b = 3 or 4
(i) b = 3
7/60 ＜ 1/c ＜ 1/6
c = 7 or 8
......
a + b + c 之最小值為 2 + 3 + 7 = 12
第 5 題
0 ＜ y^2 ＜ 1
2017 ＜ x^2 ＜ 2018
x = 44 + y
(44 + y)^2 + y^2 = 2018
y = - 22 + 5√21
x = 22 + 5√21
第 6 題
a_1 用 a 取代，b_1 用 b 取代
設 a_n 的公比 x，b_n 的公比 y
a + b = 24
ax + by = -4
ax^2 + by^2 = 86
ax^3 + by^3 = 71
求 ax^4 + by^4 = ？
ax^(n + 1) + by^(n + 1) = (x + y)(ax^n + by^n) - xy[ax^(n - 1) + by^(n - 1)]
-4(x + y) - 24xy = 86
86(x + y) + 4xy = 71
x + y = 1，xy = -15/4
ax^4 + by^4 = (ax^3 + by^3) + (15/4)(ax^2 + by^2) = 71 + (15/4) * 86 = 787/2
第 9 題
f(x) = 3|x - 1/3| + 5|x - 1/5| + 7|x - 1/7| + 9|x - 1/9| + 11|x - 1/11| + 13|x - 1/13|
拆開的話有 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 48 個絕對值
f(x) 的最小值出現在 13 個 1/13，11 個 1/11，9 個 1/9，7 個 1/7，5 個 1/5，3 個 1/3 排成一列的中位數
即第 24 個的 1/11 和第 25 個的 1/9 的平均數
此時 a = 1/11，b = 1/9，c = 2
abc = 2/99
第 10 題
n = (10 - 1) + (10^2 - 1) + ... + (10^99 - 1)
= 111......1110 (有 99 個 1 和 1 個 0) - 99
= 111......1011 (有 97 個 1 和 1 個 0 和 2 個 1)
所求為 99 個
計算
第 3 題
-1 ≦ x ≦ 1
-1 ≦ y ≦ 1
令 x = sinα，y = sinβ，由於要最大值，θ 取第一象限的角
x√(1 - y^2) + y√(1 - x^2)
= sinαcosβ + sinβcosα
= sin(α+β)
最大值為 1
Re: 107建功高中_國中部
第 12 題
n 的百位數不是 3 就是 2
由於 n 要最小，百位取 2
設 n = 200 + 10x + y，0 ≦ x，y ≦ 9
200 + 10x + y + 2 + x + y = 313
11x + 2y = 111
易知 x = 9，y = 6，n 之最小值為 296
第 16 題
作 FG 垂直 AB 於 G
令 AB = BC = x，FG = y
△ABF + △BCF + △CAF = △ABC
(1/2)(xy + x + 2x) = (1/2)x^2
y = x - 3
BE = FG = x - 3，CE = 3，CF = √10，CD = 2√2
DFEC = △CEF + △CDF = 3/2 + 2 = 7/2
n 的百位數不是 3 就是 2
由於 n 要最小，百位取 2
設 n = 200 + 10x + y，0 ≦ x，y ≦ 9
200 + 10x + y + 2 + x + y = 313
11x + 2y = 111
易知 x = 9，y = 6，n 之最小值為 296
第 16 題
作 FG 垂直 AB 於 G
令 AB = BC = x，FG = y
△ABF + △BCF + △CAF = △ABC
(1/2)(xy + x + 2x) = (1/2)x^2
y = x - 3
BE = FG = x - 3，CE = 3，CF = √10，CD = 2√2
DFEC = △CEF + △CDF = 3/2 + 2 = 7/2
Re: 107建功高中_國中部
第 8 題
作 AH 垂直 BC 於 H
AQ 是 ∠BAC 的平分線，BQ / CQ = AB / AC = 5 / 3
令 BP = 3x，PQ = 2x，CQ = 3x，QH = y
AH^2 = 20^2 - (5x + y)^2 = 12^2 - (3x - y)^2
x^2 + xy = 16
√(AP^2 - AQ^2) = √[(AH^2 + PH^2) - (AH^2 + QH^2)] = √(PH^2 - QH^2) = √[(2x + y)^2 - y^2] = 2√(x^2 + xy) = 8
作 AH 垂直 BC 於 H
AQ 是 ∠BAC 的平分線，BQ / CQ = AB / AC = 5 / 3
令 BP = 3x，PQ = 2x，CQ = 3x，QH = y
AH^2 = 20^2 - (5x + y)^2 = 12^2 - (3x - y)^2
x^2 + xy = 16
√(AP^2 - AQ^2) = √[(AH^2 + PH^2) - (AH^2 + QH^2)] = √(PH^2 - QH^2) = √[(2x + y)^2 - y^2] = 2√(x^2 + xy) = 8