107臺北市立國中教甄-數學科

[ksjeng]

107臺北市立國中教甄-數學科
試題答案
請參考附檔

[hungru30]

鋼琴老師，有擾78、80兩題了

[thepiano]

第 78 題
設圓心 O，半徑 2r，UT 切圓於 V，RT = x
作 OA 垂直 RS 於 A，作 OB 垂直 RQ 於 B
則 UV = UA = r，TV = TB = 2r - x

RU^2 + RT^2 = UT^2
r^2 + x^2 = (r + 2r - x)^2
x = (4/3)r

RT / RQ = (4/3)r / (4r) = 1/3


第 80 題
設直線 AF 交 BC 於 G
△BCF = (1/2)△ABC，AF / FG = 1 / 1

設 △ABG = x，△ACG = y
△ADF / △ABG = (AD * AF) / (AB * AG) = (1 * 1) / (4 * 2) = 1 / 8
△ADF = x / 8

△AEF / △ACG = (AE * AF) / (AC * AG) = (2 * 1) / (3 * 2) = 1 / 3
△AEF = y / 3

△ADE / △ABC = (AD * AE) / (AB * AC) = (1 * 2) / (4 * 3) = 1 / 6
△ADE = (x + y) / 6

x / 8 + y / 3 = (x + y) / 6
x = 4y

△BDF = (3/8)x，△ABC = (5/4)x
△BDF：△ABC = 3：10

[gucciplevy]

請教70、71

[thepiano]

第 70 題
這題 93 年基隆考過

令 a_1 = x，a_2 = y
a_3 = x + y
a_4 = x + 2y
a_5 = 2x + 3y
a_6 = 3x + 5y
a_7 = 5x + 8y = 120
y = 5，x = 16 (不合，因為此數列遞增，x ＜ y)
y = 10，x = 8

a_8 = 8x + 13y = 64 + 130 = 194


第 71 題
前 3 分鐘，水尚未蓋過鐵塊；3 分鐘後，水已蓋過鐵塊，此時每分鐘增高 (30 - 20) / (9 - 3) = 5/3 cm

線到 50 cm 高處停下來，表示容器高度 50 cm
若無鐵塊，要花 50 / (5/3) = 30 鐘注滿
今有鐵塊，只花 3 + (50 - 20) / (5/3) = 21 鐘注滿
即鐵塊的體積 = 花 9 分鐘注的水之體積
所求 = 9：30 = 3：10

[hsuanwinnie]

老師，不好意思。
請問第44題，除了直接除，還有其他快速的方法嗎？
謝謝老師！

[thepiano]

x^2 用 x + 1 代入，降階

[hsuanwinnie]

太好了！謝謝厲害的鋼琴老師！
終於解開了啦～ 耶！

[lovecatbest63]

老師您好:
想請教49、52、74、77、62(當初假設角B、C皆為30度算出來的)
麻煩您了 謝謝

[thepiano]

第 49 題
△CED 和 △CEB 全等 (SAS)


第 52 題
(N^2 + 7) / (N + 4) = (N - 4) + [23 / (N + 4)]
考慮 5 ~ 2022 有幾個 23 的倍數


第 62 題
∠A = 120 度
令 AB = x，AC = y
由餘弦定理 x^2 + y^2 - 2xy * cos(120度) = 2^2
x^2 + y^2 + xy = 4

2xy + xy ≦ x^2 + y^2 + xy = 4
xy ≦ 4/3

△ABC = (1/2)xy * sin(120度)


第 74 題
定坐標
B(0，0)、C(6，0)、E(10，0)、A(3，3√3)、D(8，2√3)、M(4，√3)、N(13/2，(3/2)√3)
再用測量師公式


第 77 題
偶數是第 3、6、9、...... 個
3 的倍數是第 4、8、12、...... 個
兩者兼具是第 12、24、36、...... 個