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第 11 題
題目有誤
應是求 "體積" 的最大值
第 21 題
題目有誤
凸多邊形任一內角小於 180 度，依題意剪下來的扇形，最少要 3 個，才能拼成1 個圓，要拼出 7 個圓最少要 21 個扇形
112 新北市國中
版主: thepiano
112 新北市國中
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Re: 112 新北市國中
第 4 題
先算 2^82589933 的末兩位，再減 1
02、04、08、16、32、64、28、56、12、24、48、96、92、84、68、36、72、44、88、76、52、04 (開始重複)
除了第一個 02，接下來每 20 個重複一次
......
第 9 題
這題題目忘了說 x 和 y 是實數
2x + 3y = 3
x^2 + 4x + 4y + 3 = 0
解聯立
y = (3 - 2x)/3 代入 x^2 + 4x + 4y + 3 = 0 看 x 有幾個實數解
第 10 題
x^2/6^2 + y^2/3^2 = 1
焦點 C(3√3，0)、D(-3√3，0)
x = 3√3 和 x^2 + 4y^2 = 36 交於 (3√3，3/2)、(-3√3，-3/2)
過焦點 C(3√3，0)的弦最短是 3 (只有一條)，最長是 12 (只有一條)，而 4 ~ 11 各有兩條
過焦點 D(-3√3，0)的弦最短是 3 (只有一條)，最長是 12(與上面的 12 是同一條)，而 4 ~ 11 各有兩條
第 11 題
畫兩個邊長 1 的正三角形 △ABC 和 △DBC，其中邊 BC 共用
沿著 BC 把 △DBC 摺起，讓平面 ABC 和 DBC 垂直
此時四面體 D-ABC 的體積有最大值
第 17 題
正立方體 ABCD-EFGH
以 AE 邊而言，△AEC 和 △AEG 都是非等腰的直角三角形
而正立方體有 12 個邊
......
第 18 題
畫出 y = (x + 2)(x - 1)^2 的大略圖形
它與 x 軸交於 (-2，0)，切於 (1，0)，與 y 軸交於 (0，2)
一看就知道 (D) 選項是錯的
反曲點是 (0，2) 才對
第 20 題
在數線上畫出 A(a) 和 B(b) 的兩點
|x - a| + |x - b| < 1 無實數解
表示數線上一點 X(x) 到 A(a)、B(b) 的兩點距離和大於或等於 1
故 AB ≧ 1 即可
第 25 題
半徑 r，弧長 64 - 2r
面積 = (1/2)r(64 - 2r)
......
第 26 題
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1
圓心 (1，2)，半徑 1
圓心 (1，2) 到直線 AB：x - y - 1 = 0 的距離 = √2
圓上一點 C 到直線 AB 的最大距離 = 1 + √2
......
第 29 題
(b + c - 1) + (c + a - 1) + (a + b + 3) = 2(a + b + c) + 1
每移動一次，三坐標的和會是原來的 2 倍再加 1
......
第 30 題
x^2 + 4y^2 + 8x + 12 = 0
(x + 4)^2 + (2y)^2 = 4
令 x = 2cosθ - 4，y = sinθ
x^2 + 2y^2 = (2cosθ - 4)^2 + 2(sinθ)^2 = 2(cosθ)^2 - 16cosθ + 18
當 cosθ = -1 時，有最大值
第 36 題
a^2 + (1/2)b^2 ≧ 2√[(1/2)a^2b^2] = (√2)ab
c^2 + (1/2)b^2 ≧ 2√[(1/2)c^2b^2] = (√2)bc
a^2 + b^2 + c^2 ≧ (√2)(ab + bc)
......
第 40 題
易知 f(2) = 0，f'(2) = 3
再由微積分基本定理
g'(x) = f(x) * f'(x)
g''(x) = f(x) * f''(x) + f'(x) * f'(x)
g''(2) = f(2) * f''(2) + f'(2) * f'(2)
......
先算 2^82589933 的末兩位，再減 1
02、04、08、16、32、64、28、56、12、24、48、96、92、84、68、36、72、44、88、76、52、04 (開始重複)
除了第一個 02，接下來每 20 個重複一次
......
第 9 題
這題題目忘了說 x 和 y 是實數
2x + 3y = 3
x^2 + 4x + 4y + 3 = 0
解聯立
y = (3 - 2x)/3 代入 x^2 + 4x + 4y + 3 = 0 看 x 有幾個實數解
第 10 題
x^2/6^2 + y^2/3^2 = 1
焦點 C(3√3，0)、D(-3√3，0)
x = 3√3 和 x^2 + 4y^2 = 36 交於 (3√3，3/2)、(-3√3，-3/2)
過焦點 C(3√3，0)的弦最短是 3 (只有一條)，最長是 12 (只有一條)，而 4 ~ 11 各有兩條
過焦點 D(-3√3，0)的弦最短是 3 (只有一條)，最長是 12(與上面的 12 是同一條)，而 4 ~ 11 各有兩條
第 11 題
畫兩個邊長 1 的正三角形 △ABC 和 △DBC，其中邊 BC 共用
沿著 BC 把 △DBC 摺起，讓平面 ABC 和 DBC 垂直
此時四面體 D-ABC 的體積有最大值
第 17 題
正立方體 ABCD-EFGH
以 AE 邊而言，△AEC 和 △AEG 都是非等腰的直角三角形
而正立方體有 12 個邊
......
第 18 題
畫出 y = (x + 2)(x - 1)^2 的大略圖形
它與 x 軸交於 (-2，0)，切於 (1，0)，與 y 軸交於 (0，2)
一看就知道 (D) 選項是錯的
反曲點是 (0，2) 才對
第 20 題
在數線上畫出 A(a) 和 B(b) 的兩點
|x - a| + |x - b| < 1 無實數解
表示數線上一點 X(x) 到 A(a)、B(b) 的兩點距離和大於或等於 1
故 AB ≧ 1 即可
第 25 題
半徑 r，弧長 64 - 2r
面積 = (1/2)r(64 - 2r)
......
第 26 題
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1
圓心 (1，2)，半徑 1
圓心 (1，2) 到直線 AB：x - y - 1 = 0 的距離 = √2
圓上一點 C 到直線 AB 的最大距離 = 1 + √2
......
第 29 題
(b + c - 1) + (c + a - 1) + (a + b + 3) = 2(a + b + c) + 1
每移動一次，三坐標的和會是原來的 2 倍再加 1
......
第 30 題
x^2 + 4y^2 + 8x + 12 = 0
(x + 4)^2 + (2y)^2 = 4
令 x = 2cosθ - 4，y = sinθ
x^2 + 2y^2 = (2cosθ - 4)^2 + 2(sinθ)^2 = 2(cosθ)^2 - 16cosθ + 18
當 cosθ = -1 時，有最大值
第 36 題
a^2 + (1/2)b^2 ≧ 2√[(1/2)a^2b^2] = (√2)ab
c^2 + (1/2)b^2 ≧ 2√[(1/2)c^2b^2] = (√2)bc
a^2 + b^2 + c^2 ≧ (√2)(ab + bc)
......
第 40 題
易知 f(2) = 0，f'(2) = 3
再由微積分基本定理
g'(x) = f(x) * f'(x)
g''(x) = f(x) * f''(x) + f'(x) * f'(x)
g''(2) = f(2) * f''(2) + f'(2) * f'(2)
......
Re: 112 新北市國中
第 24 題
正方形 A 邊長 x，正方形 B 邊長 y，正方形 C 邊長 z
x + y + z = 40
x + z - y = 24
y = 8，z = 32 - x
長方形 D 面積 = (x - 8)(40 - x)
長方形 E 面積 = (x + 8)(24 - x)
......
第 32 題
原式 = √[(2^x - 4)^2 + (x - 1)^2] + √[(2^x - 1)^2 + (x - 5)^2]
視為 y = 2^x 上一點 (x，2^x) 到 A(1，4) 和 B(5，1) 的距離和
所求 = AB
第 37 題
ab ≦ (a + b)^2/4
4c^2 + 2c - 1 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab ≧ (a + b)^2 - (a + b)^2/2 = (a + b)^2/2 = (2c + 1)^2/2
......
第 38 題
f(x) = ax^2 + bx + c
f(2) - f(1) = 3a + b
f(3) = 9a + 3b + c
-3 ≦ 3a + b ≦ 2
-6 ≦ -(9a + 3b) ≦ 9
-1 ≦ 9a + 3b + c ≦ 2
兩式相加
-7 ≦ c ≦ 11
正方形 A 邊長 x，正方形 B 邊長 y，正方形 C 邊長 z
x + y + z = 40
x + z - y = 24
y = 8，z = 32 - x
長方形 D 面積 = (x - 8)(40 - x)
長方形 E 面積 = (x + 8)(24 - x)
......
第 32 題
原式 = √[(2^x - 4)^2 + (x - 1)^2] + √[(2^x - 1)^2 + (x - 5)^2]
視為 y = 2^x 上一點 (x，2^x) 到 A(1，4) 和 B(5，1) 的距離和
所求 = AB
第 37 題
ab ≦ (a + b)^2/4
4c^2 + 2c - 1 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab ≧ (a + b)^2 - (a + b)^2/2 = (a + b)^2/2 = (2c + 1)^2/2
......
第 38 題
f(x) = ax^2 + bx + c
f(2) - f(1) = 3a + b
f(3) = 9a + 3b + c
-3 ≦ 3a + b ≦ 2
-6 ≦ -(9a + 3b) ≦ 9
-1 ≦ 9a + 3b + c ≦ 2
兩式相加
-7 ≦ c ≦ 11
Re: 112 新北市國中
我想問一下27,34,35 謝謝
27題我算出的答案是y+1=-f(x-1)不曉得錯在哪邊
27題我算出的答案是y+1=-f(x-1)不曉得錯在哪邊
Re: 112 新北市國中
第 27 題
f(x) 的圖形先往右平移 1 單位長是 f(x - 1)
再對 x 軸鏡射是 - f(x - 1)
最後往上平移 1 單位長是 1 - f(x - 1)
第 34 題
令 f(x) - g(x) - x = 2(x - 1)(x - 2)(x - 3)
f(4) - g(4) - 4 = 2(4 - 1)(4 - 2)(4 - 3)
......
第 35 題
令 (x + 1)(x - 1)f(x) = (x^3 + 2)(x - 1)q(x) + (x + 2)(x - 1)
其中 q(x) 是二次多項式
x = 0 代入
-f(0) = -2q(0) - 2
q(0) = 2
x = -1 代入
0 = -2q(-1) - 2
q(-1) = -1
(x + 1)f(x) = (x^3 + 2)q(x) + (x + 2)
x = 1 代入
2f(1) = 3q(1) + 3
q(1) = 3
可求出 q(x) = -x^2 + 2x + 2
(x + 1)f(x) = (x^3 + 2)(-x^2 + 2x + 2) + (x + 2)
x 用 2 代入
......
f(x) 的圖形先往右平移 1 單位長是 f(x - 1)
再對 x 軸鏡射是 - f(x - 1)
最後往上平移 1 單位長是 1 - f(x - 1)
第 34 題
令 f(x) - g(x) - x = 2(x - 1)(x - 2)(x - 3)
f(4) - g(4) - 4 = 2(4 - 1)(4 - 2)(4 - 3)
......
第 35 題
令 (x + 1)(x - 1)f(x) = (x^3 + 2)(x - 1)q(x) + (x + 2)(x - 1)
其中 q(x) 是二次多項式
x = 0 代入
-f(0) = -2q(0) - 2
q(0) = 2
x = -1 代入
0 = -2q(-1) - 2
q(-1) = -1
(x + 1)f(x) = (x^3 + 2)q(x) + (x + 2)
x = 1 代入
2f(1) = 3q(1) + 3
q(1) = 3
可求出 q(x) = -x^2 + 2x + 2
(x + 1)f(x) = (x^3 + 2)(-x^2 + 2x + 2) + (x + 2)
x 用 2 代入
......
Re: 112 新北市國中
第 39 題
abc + d = abd + c = acd + b = bcd + a = 5/2
1/d + d = 1/c + c = 1/b + b = 1/a + a = 5/2
a = b = c = d = 2 or 1/2
由於 abcd = 1，故 a、b、c、d 中必是 2 個 2 和 2 個 1/2
所求 = C(4，2) = 6
abc + d = abd + c = acd + b = bcd + a = 5/2
1/d + d = 1/c + c = 1/b + b = 1/a + a = 5/2
a = b = c = d = 2 or 1/2
由於 abcd = 1，故 a、b、c、d 中必是 2 個 2 和 2 個 1/2
所求 = C(4，2) = 6