114 臺北市國中

[thepiano]

請參考附件

數學在第 41 ~ 80 題

第 79 題
題目有誤，x 只有 2 個解，答案應是 31

[fubao]

老師好：
麻煩請教，42，48，54，55，59，60，61，67，68，69，70，71，74，77，78，79，80，謝謝您

[thepiano]

第 42 題
最慘的是除了 8 以外，其餘所有的 48 張牌都抽出來
所再抽 1 張，就是答案


第 48 題
f(x) = 3x^4 - 16x^3 + 6x^2 + 72x + 100
f'(x) = 12x^3 - 48x^2 + 12x + 72 = 0
x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0
(x + 1)(x - 2)(x - 3) = 0
x = -1 or 2 or 3
f(-1) 是極小值，f(2) 是極大值，f(3) 是極小值
所求為 -1 ≦ x ≦ 2 或 x ≧ 3，應該要加上等號


第 54 題
123456789 是 9 的倍數
101112131415161718 是 9 的倍數
:
:
919293949596979899 是 9 的倍數
所求為 100 除以 9 的餘數


第 55 題
√x + √y = √336 = 4√21
√x + √y = 0√21 + 4√21 = √21 + 3√21 = 2√21 + 2√21 = 3√21 + √21 = 4√21 + 0√21


第 59 題
作 AH 垂直 DG 於 H
令 AH = 4t，則 BE = 3t，CF = 2t
令 DE = DG = x
DH/BE = AH/DE
DH = 12t^2/x，同理 GH = 8t^2/x

12t^2/x + 8t^2/x = x
x = 2√5t

△BDE = (1/2) * 3t * 2√5t = 3
t^2 = 1/√5

DEFG = x^2 = 20t^2 = 4√5


第 60 題
AP = x，AQ = y
BP = 8 - x，CQ = 7 - y
x + y = 8 - x + 7 - y + 9
y = 12 - x

x/(8 - x) = y/(7 - y) = (12 - x)/(x - 5)
x = 32/5

AP = 32/5
AP/AB = PQ/BC
PQ = 36/5


第 61 題
AB * CD * EF = BC * DE * AF
證明太長，就不寫了


第 67 題
7 人：A、B、C、D、E、F、G
其中 A、B 不相鄰
B、C、D、E、F、G 先環狀排列有 (6 - 1)! = 120 種方法
A 有 4 種坐法
所求 = 120 * 4 = 480


第 68 題
x^2 - 3xy + y^2 = 1
利用隱函數微分法
2x - 3y - 3xy' + 2yy' = 0
y' = (2x - 3y)/(3x - 2y)
x = 3，y = 1 代入可得 y' = 3/7

切線方程式：y - 1 = (3/7)(x - 3)
y = (3/7)x - 2/7


第 69 題
y = x/(x + 1)(x - 1)
x → ±∞，y → 0
水平漸近線 y = 0
垂直漸近線 x = ±1
曲線對稱於原點


第 70 題
PQ 過內心且平分 △ABC 的面積，同時也平分 △ABC 的周長
證明不難，可自己想想
AP + AQ = (23 + 22 + 21)/2 = 33


第 71 題
利用 L'Hopital's Rule
分子分母同時微分，可得 3[sec(3x)]^2 / 2
x = 0 代入，可得 3/2


第 74 題
L_1 的參數式
x = 2 + t
y = -3t
z = 4 - t

L_2 的參數式
x = 1 + 2s
y = -2 - s
z = 3s

2 + t = 1 + 2s
-3t = -2 - s
可解出 t = s = 1

交點 (3，-3，3)


第 77 題
三邊長 a、b、c，其中 a < b < c
10 = 30/3 < c < 30/2 = 15

(1) c = 14，a + b = 16
(a，b，c) = (3，13，14)、(4，12，14)、(5，11，14)、(6，10，14)、(7，9，14)

(2) c = 13，a + b = 17
(a，b，c) = (5，12，13)、(6，11，13)、(7，10，13)、(8，9，13)

(3) c = 12，a + b = 18
(a，b，c) = (7，11，12)、(8，10，12)

(4) c = 11，a + b = 19
(a，b，c) = (9，10，11)


第 78 題
△MQN = △BQN
△OMP = △DMP
△ONP = △CNP
相加可得
MQNP = △BQN + △DMP + △CNP = (1/2)MDCB

又 MDCB = 3△ABM
MDCB = (3/4)ABCD

MQNP = (1/2)MDCB = (1/2)(3/4)ABCD = (3/8)ABCD


第 79 題
令 x^2 + 25x + 52 = t > 0
t = 3√(t + 28)
t^2 = 9(t + 28)
t^2 - 9t - 252 = 0
(t - 21)(t + 12) = 0
t = 21 or -12 (不合)

x^2 + 25x + 52 = 21
x^2 + 25x + 31 = 0
所有解的乘積為 31
官方題目有誤


第 80 題
作 HM 垂直 GC 於 M，作 DN 垂直 GC 於 N
△AEF、△BFG、△MGH 皆全等
令 AE = BF = MG = x
AF = BG = MH = 8 - x

BM = BG + MG = 8，CM = 3
BN = AD = 6，MN = 2

DH/CH = MN/CM = 2/3

[fubao]

謝謝鋼琴老師，趕快來念