115 成德高中國中部

[LS0722]

各位老師好，想請教一下第2、3、4、6、7、11、12、13題的作法，謝謝！

[thepiano]

第 2 題
a_2027 ~ a_3027 這 1001 項的和 = 1025 - 3027 = -2002
中間項 = a_2527 = -2002 / 1001 = -2

a_1 ~ a_5053 這 5053 項的中間項也是 a_2527
S_5053 = (-2) * 5053 = -10106


第 3 題
設兩根為 m、n，其中 m ≦ n
m + n = - (-3/8) / a = 3 / (8a)
mn = 1 / a

a = 3 / [8(m +ｎ)] = 1 / (mn)
3mn - 8m - 8n = 0
9mn - 24m - 24n = 0
(3m - 8)(3n - 8) = 64 = 1 * 64 = 2 * 32 = 4 * 16 = 8 * 8
m = 3，n = 24 或 m = 4，n = 8

a = 1 / (mn) = 1/72 或 1/32
官方答案少了一解


第 4 題
x^2 + y^2 = 10x + 12y + 3
(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 3 + 25 + 36 = 64

[(x - 5)^2 + (y - 6)^2][(-4)^2 + 3^2] ≧ [-4(x - 5) + 3(y - 6)]^2 = (-4x + 3y + 2)^2
64 * 25 ≧ (-4x + 3y + 2)^2
-4x + 3y + 2 ≦ 8 * 5 = 40
-4x + 3y ≦ 38


第 6 題
(a - 1)x^2 - (a^2 + 2)x + a(a + 2) = 0
(x - a)[(a - 1)x - (a + 2)] = 0
x = a 或 x = (a ＋2) / (a - 1)

(b - 1)x^2 - (b^2 + 2)x + b(b + 2) = 0
x = b 或 x = (b ＋2) / (b - 1)

a ≠ b
故 a = (b ＋2) / (b - 1) = 1 + [3 / (b - 1)]
b - 1 = 1 or 3，b = 2 or 4，a = 4 or 2


第 7 題
f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - k) + 124 有整係數一次因式
表示 f(x) = 0 有整數根
令此整數根為 a

(a - 1)(a - 2)(a - k) + 124 = 0
(a - 1)(a - 2)(a - k) = -124

(a - 1)(a - 2) 是 -124 的因數
a - 1 和 a - 2 是連續整數，故 (a - 1)(a - 2) = 2 = 2 * 1 = (-1)(-2)
a = 3 or 0
2(3 - k) = -124，k = 65
2(0 - k) = -124，k = 62


第 11 題
固定 A 點，將 △APD 順時針旋轉 90 度，讓 D 旋轉到 B
設 P 旋轉到 Q
QA = PA = 1，∠QAP = 90 度，QP = √2

PB = 3，QB = PD = √7，∠BQP = 90 度

∠AQB = 135 度
再用餘弦定理，可求出 AB^2 = 8 + √14


第 12 題
△DEF / △ABC = r / (2R) = 3/14
證明就不寫了


第 13 題
設其中一堆紅球 x 個，黑球 y 個，白球 z 個
x + y + z = 30
(x，y，z) 的非負整數解組數 = H(3，30) = C(32，30) = 496
須扣掉 x、y、z 中有一個在 21 個以上
496 - C(3，1) * H(3，9) = 496 - 3 * 55 = 331

這兩堆除了 (x，y，z) = (10，10，10) 一樣外，其餘都是兩兩對應
由於兩堆並沒有"堆別"之分
故所求 = (331 + 1) / 2 = 166