115 中區聯盟國中

[thepiano]

請參考附件


第 4 題
打破窗戶的可能是甲或丙
這題選 (A)、(C)、(D) 應該都可以

[math_tsai]

想請教老師 第14、16、20、23、28、41、42題。

[thepiano]

第 14 題
三邊長 a、b、c，周長 = 30，半周長 = 15
a：b = sinA：sinB = 3：5
猜 a = 6，b = 10，c = 14

面積 = √(15 * 9 * 5 * 1) = 15√3

此時
內切圓半徑 r = 15√3 / 15 = √3
外接圓半徑 R = (6 * 10 * 14) / ( 4 * 15√3) = 14/√3
R / r = (14/√3) / √3 = 14/3


第 16題
3x^2 + 2y^2 + xy = 8
利用隱函數微分
6x + 4y(dy/dx) + y + x(dy/dx) = 0
dy/dx = (-6x - y) / (x + 4y)
所求 = (-6 * 0 - 2) / (0 + 4 * 2) = -1/4


第 20 題
比較快的做法是 Arg(z_2) = 0，Arg(z_1) = (2/3)π
|z_2| = 3，z_2 = 3
|z_1| = 2，z_1 = -1 + √3i

|z_1 + z_2| = |2 + √3i| = √7


第 23 題
x^3 + x^2 + ax + b = 0 的三根和為 -1
已知其中一根為 5，則另二根之和 = -6
令此二根為 -3 + yi 與 -3 - yi
三角形三頂點為 (5，0)、(-3，y)、(-3，-y)
面積 = (1/2) * [y - (-y)] * [5 - (-3)] = 24
y = 3

x^3 + x^2 + ax + b = (x - 5)(x^2 + 6x + 18)
a = -12，b = -90


第 28 題
2026 = 2 * 1013
所求 = 2026 * (1 - 1/2) * (1 - 1/1013) = 1012


第 41 題
(A) (x，y) 變換到 (y，x)，這是以 y = x 為對稱軸的線對稱變換
(B) cosθ = 3/5，sinθ = -4/5，這是以原點為中心的旋轉變換，正確
(C) (x，y) 變換到 (x，0)，這是對 x 軸做投影的投影變換
(D) (x，y) 變換到 (x，-y)，這是以 x 軸為對稱軸的線對稱變換


第 42 題
f(x) = (x - 5)^4 + (x - 1)^4 - 196 = [(x - 3) - 2]^4 + [(x - 3) + 2]^4 - 196
其圖形是以 x = 3 為對稱軸
若 f(x) = 0 有二個實根
則此二個實根的和 = 2 * 3 = 6