97金門數學第39,40題

[someone]

想了四天，還是想不出來39跟40題要怎麼解，謝謝。

[thepiano]

第 39 題
先證明 [(AB * CD) / (AD * BC)] * [(EH * FG) / (EF * GH)] = 1

[(AB * CD) / (AD * BC)] * [(EH * FG) / (EF * GH)]
= (△OAB / △OAD) * (△OCD / △OBC) * (△OEH / △OEF) * (△OFG / △OGH)
= (△OAB / △OEF) * (△OCD / △OGH) * (△OEH / △OAD) * (△OFG / △OBC)
= [(OA * OB) / (OE * OF)] * [(OC * OD) / (OG * OH)] * [(OE * OH) / (OA * OD)] * [(OF * OG) / (OB * OC)]
= 1

令 GH = x
(1/3) * [3(x + 5) / (2x)] = 1
x = 5


也可用孟氏定理做，參考
http://forum.nta.org.tw/examservice/sho ... hp?t=50003



第 40 題
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 2 (mod 7)

孫子的算法
x = 2 * 70 + 3 * 21 + 2 * 15 - 2 * 105 = 23

用 google 搜尋 "中國剩餘定理" 或 "孫子定理"，您就可以了解了

題目中的那首歌訣是有人寫來記住 70，21，15，105 這些數字的，而是這些數字怎麼來的呢？
105 = [3，5，7]
70 是 5 和 7 的公倍數中除以 3 餘 1 的第 1 個
21 是 3 和 7 的公倍數中除以 5 餘 1 的第 1 個
15 是 3 和 5 的公倍數中除以 7 餘 1 的第 1 個


如果 "三三一數" 改成 "四四一數"
x = 2 * 105 + 3 * 56 + 2 * 120 - 3 * 140 = 58

140 = [4，5，7]
105 是 5 和 7 的公倍數中除以 4 餘 1 的第 1 個
56 是 4 和 7 的公倍數中除以 5 餘 1 的第 1 個
120 是 4 和 5 的公倍數中除以 7 餘 1 的第 1 個

[someone]

孟氏定理是忘到海角天涯去了；中國餘式定理我還記得，只是沒想到那首歌要這樣解讀。謝謝！

[f19791130]

我想請教各位老師
第25 26 37題 共3題
另外第17題 為何9的倍數的度數都能3等分
謝謝

[f19791130]

抱歉
我補傳一下題目

[thepiano]

第 17 題
30 度和 36 度可以尺規作圖
36 - 30 = 6 度和 6/2 = 3 度可以尺規作圖
所有 3 的正整數倍都可以尺規作圖
故 9 的正整數倍的度數都能三等分


第 25 題
(y - 17) / (x - 3) = (17 - 281) / (3 - 48)
y = (88x - 9) / 15 為整數
易知 x 之個位數為 3 或 8
檢查 x = 3，8，13，18，23，28，33，38，43，48
即知 x = 3，18，33，48 合於所求


第 26 題
7 + 8 = 15 或進位後變成 16
所以先考慮把 2 變成 5 或 6
正確算式為 746586 + 869430 = 1616016


第 37 題
只有上半圓會在 XY 平面上投射出影像，且由於光源高度的關係，所以形成的影像是拋物線


正規的做法

A(0，2，2)

圓 x^2 + (z - 1)^2 = 1，y = 0 上任一點 B 為
x = cosa
y = 0
z = sina + 1

直線 AB 之參數式為
x = (cosa)t ...... (1)
y = 2 - 2t
z = 2 + (sina - 1)t

由於照射在 xy 平面上
令 2 + (sina - 1)t = 0
(sina)t = t - 2 ...... (2)

(1)^2 + (2)^2
x^2 + (t - 2)^2 = t^2
x^2 - 4t + 4 = 0
x^2 + 2y = 0
y = -x^2/2