100中區數學

[aikia]

感謝~~
第39題，我發現自己的問題在哪裡了...
明明tan(α+β)=1，我在算式裡面還一直留著...
所以算不出來
50題我是算到一半，時間來不及了就沒耐心再繼續算下去>"<

[thepiano]

第 49 題
真狠 ......

以下 log 均以 2 為底
f(2x) = 3f(x)
f(x) = a * x^(log3)

利用它給的積分式子可求出 a = log3 + 1
f(x) = (log3 + 1)x^(log3)
∫f(x)dx = x^(log3 + 1) + C

[aikia]

f(2x) = 3f(x)
f(x) = a * x^(log3) ←請問這是怎麼得到的?
還有請問第12題怎麼算？

[thepiano]

第 12 題
利用圓柱殼法( shell methods )：函數 f(x) 在 [a，b] 連續 (0 ≦ a ＜ b)，則由 f(x) 之圖形、x 軸及兩直線 x = a，x = b 所圍成區域
繞 y 軸旋轉一圈，所得之旋轉體的體積 = ∫2πxf(x)dx (從 a 積到 b)

原題等同於求 f(x) = (x - 1) − (x - 1)^2 與 x 軸在第一象限所圍成的區域，繞著 y 軸旋轉一圈，所得之旋轉體的體積


第 49 題
易知 f(x) 不可能是 a，ax + b，ax^2 + bx + c 之類的 n 次多項式 (n 是正整數或 0)
猜測 f(x) = a * x^k
a * (2x)^k = 3 * a * x^k
k = log3 (以 2 為底)

[mrmath]

49題

由 f(2x) = 3f(x) => f(x) = f(2x)/3

1 1
由 ∫ f(x)dx = 1 => ∫ f(2x)/3 dx = 1
0 0

1
=> ∫ f(2x) dx = 3 ....(*)
0

令 u = 2x , du = 2 dx

2 2 1 2
(*) 就變成 ∫ f(u)/2 du = 3 => ∫ f(u) du = 6 = ∫ + ∫
0 0 0 1


就可得到答案5 , 以前大學好像這樣解!!??

[thepiano]

第 49 題這樣解，不用求出 f(x)，很漂亮啊！

[ddtjam]

想請教15題，感謝~

[thepiano]

第 15 題
"˙"是內積符號，"×"是外積符號
可參考
http://www.amath.nchu.edu.tw/~tdoc/17_3.htm

[f19791130]

請教鋼琴老師與各位高手
第40題的(2)選項 為何不是收斂 我用比值審斂法算出的極限值是0比1小 (分母是n的2次項 分子是n的1次項)
所以該級數要收斂 但答案是(4)
第31題的(3)選項為何錯 根號裡的數c 可正 可負 可0
c為負 有虛根成對定理
c為正 可借助一元二次方程式的公式解求解
c為0 很顯然是對的
不知我哪裡想錯
煩請賜教
謝謝

[thepiano]

第 31 題
第 (3) 選項
有可能 a = 0
例：x^2 - √2x = 0 ，有 √2 這個根，但沒有 -√2 這個根


第 40 題
第 (2) 選項
用 Ratio test 時，極限值是 1，所以不能用
可用 Comparision test
1 / (n + 2) ≦ n! / (2n! + 1)
前者發散，後者亦發散