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Re: 101中區詳解整理
發表於 : 2014年 2月 10日, 11:29
由 farewell324
thepiano 寫:farewell324 寫:x是可以直接替換成y嗎? 不是應該從原式整理再代入嗎?
可以直接替換
這裡會搞不清楚是因為沒分清 x 是函數還是變數罷了
那麼y=x^3的例子裏,就會變成:
y'=3x^2 取倒數:1/(3x^2)
再將x以y直接替換:1/(3y^2)
我理解以y來表示是正確的,
但如果要以x來表示,也還是要將y拿原式整理後的結果代入表示。
現在似乎就回到一開始的問題:卡在y無法輕易從反函數中代換
所以,如果有辦法代換進去,將反函數的導函數以x表示,答案仍然是公布的 y'=x/(x + 1)嗎?
還是說這題的題目敘述是正確的,但只是選項誤植y為x呢?
Re: 101中區詳解整理
發表於 : 2014年 2月 10日, 12:57
由 thepiano
重寫一次
y = x^3 → y' = 3x^2 → 所求 = 1/3x^2 (藍色的 x 視為 y 的函數),就不用替換了
原題 y = x + lnx → y' = 1 + 1/x → 所求 = 1/(1 + 1/x) = x/(x + 1) (藍色的 x 視為 y 的函數),這樣選項就沒有誤植了
Re: 101中區詳解整理
發表於 : 2014年 2月 10日, 14:30
由 farewell324
thepiano 寫:重寫一次
y = x^3 → y' = 3x^2 → 所求 = 1/3x^2 (藍色的 x 視為 y 的函數),就不用替換了
原題 y = x + lnx → y' = 1 + 1/x → 所求 = 1/(1 + 1/x) = x/(x + 1) (藍色的 x 視為 y 的函數),這樣選項就沒有誤植了
但我簡化的y = x^3此題的答案並不是1/3x^2 耶,是1/3 * x^(-2/3)才對吧!
這樣子做不會對吧...?
Re: 101中區詳解整理
發表於 : 2014年 2月 10日, 17:35
由 thepiano
y = x^3 ←→ x = y^(1/3)
dy/dx = 3x^2
所求 = d
x/dy = 1/(dy/dx) = 1/(3
x^2) = 1/[3y^(2/3)]
(藍色的
x 是
變數為 y 的函數)
若我們把 1/[3y^(2/3)] 記為 f(y)
則 f(y) = 1/[3y^(2/3)]
若把變數 y 改寫成 x,就變成您算出來的 f(x) = 1/[3
x^(2/3)] (棕色的
x 是一個變數)
=========================================================================================
至於原題 y = x + lnx 的 x 無法用 y 來表示,即無法直接求出反函數
dy/dx = 1 + 1/x
所求 = dx/dy = 1/(dy/dx) = 1/(1 + 1/x) =
x/(
x + 1) (藍色的
x 是
變數為 y 的函數)
由於這裡的 x 無法用 y 來表示,故無法替代,就以此為答案囉
不知以上的解釋好不好懂?
![微笑 :)](./images/smilies/icon_e_smile.gif)
Re: 101中區詳解整理
發表於 : 2014年 2月 10日, 20:53
由 ellipse
不要想太複雜
也不要常x,y互換,這樣自己會亂掉
題目不是要求反函數x =x( y)的導函數?
即求dx/dy,而這題x無法以y來表示
所以根本不需要去找反函數
直接算dx/dy= 1/(dy/dx) -----------(*)
而dy/dx=d(x+lnx)/dx =1+1/x=(x+1)/x代入(*)
所求dx/dy=x/(x+1)
真的不要想太多,結果就把它當成一個"微分方程式"
Re: 101中區詳解整理
發表於 : 2014年 2月 11日, 00:06
由 farewell324
謝謝兩位老師細心的解答!
那麼我了解原本題目選項中的x是表示函數
因為我正納悶題目要求的x =x( y)的導函數,怎麼會不是以y來表示
謝謝!!