106新北市國中數學科試題與答案

[gucciplevy]

謝謝老師的指點，
我自己沒看清楚題目～

[thepiano]

第 2 題
利用 x^2 - 2x + 6 ＜ [x^2 - 2x + 7] ≦ x^2 - 2x + 7
即 x^2 - 2x + 6 ＜ 2x^2 - 4x + 3 ≦ x^2 - 2x + 7
可解出 x 的範圍


第 20 題
∠C = θ，∠A= 2θ，∠C = π - 3θ
利用正弦定理
AC / sin(π - 3θ) = 2 / sinθ = 3 / sin2θ
AC / sin3θ = 2 / sinθ = 3 / sin2θ
AC / [3 - 4(sinθ)^2] = 2 / 1 = 3 / 2cosθ
......

[yellow0617]

第 8 題
sinx + 4siny + 4√[(1 + sinx)(1 + siny)] = 7
(1 + sinx) + 4(1 + siny) + 4√[(1 + sinx)(1 + siny)] = 12
[√[(1 + sinx) + 2√(1 + siny)]^2 = 12

由柯西不等式
[(1 + sinx) + (1 + siny)](1 + 4) ≧ [√[(1 + sinx) + 2√(1 + siny)]^2 = 12
sinx + siny ≧ 2/5


第 9 題
代數字比較快
n = 2，m = 5
n = 12，m = 961


第 19 題
固定 A 點，順時針旋轉 △APD，讓 D 點和 B 點重合，設 P 點旋轉到 P' 點
AP' = AP = 1，∠PAP' = 90 度，∠AP'P = 45 度
PP' = PB = √2，BP' = PD = 2，∠P'PB = 45 度
∠AP'B = 90 度，ABCD = AB^2 = AP'^2 + BP'^2 = 5


第 21 題
三紅機率 = (2/5)(2/4)(5/6) = 20/120
兩紅一藍機率 = (3/5)(2/4)(5/6) + (2/5)(2/4)(5/6) + (2/5)(2/4)(1/6) = 54/120
p = 20/120 + 54/120 = 74/120
答案應是 (D) 才對


第 23 題
若西元 N 年是平年，第 300 天後還有 65 天
(65 + 200) / 7 = 37 ... 6
則西元 N+1 年的第 200 天是星期六，不合
故西元 N 年是閏年

西元 N 年的第 299 天到西元 N-1 年的第 100 天，有 299 + 266 = 565 天
565 / 7 = 80 ... 5

所求 = 7 - 5 = 2，星期二


第 27 題
任意 5 數的和，都是 15 的倍數，有兩種選法
(1) 都選 15 的倍數，有 13 個
(2) 都選除以 15 餘 3 的數，有 14 個
所求 = 3 + 18 + 33 + ... + 198 = 1407

想請問老師23為什麼最後還要7-2不是除7以後剩下五天所已是星期五嗎?
28四次方那邊的分解我分解不太出來我是用牛頓方式想請教老師怎麼做分解?
另外想請問15、16、19(如果是不旋轉的話要怎麼算?)、38
謝謝老師

[thepiano]

第 15 題
這題的先決條件是每個人每天的工作量相同
m 個人完成一項工作要 n 天
表示 1 個人完成這項工作要 mn 天
現有 (m + p) 人共同去做，當然就是 mn / (m + p) 天完成


第 16 題
分成最長邊是 4、5、6 去討論
(2，3，4)
(2，4，5)、(3，4，5)
(2，5，6)、(3，4，6)、(3，5，6)、(4，5，6)


第 19 &38 題
viewtopic.php?p=19217#p19217


第 23 題
往前算，所以是用星期日(七)去減

也可以假設西元 N-1 年的第 100 天是星期 x
(265 + 300) / 7 = 80 ... 5
x + 5 = 7
x = 2，星期二


第 28 題
a^4 - 6a^2 - 64a - 39 = 0
a^3 係數為 0，表示四根和為 0
可設
a^4 - 6a^2 - 64a - 39
= (a^2 + ba + 1)(a^2 - ba - 39)
or = (a^2 + ba - 1)(a^2 - ba + 39)
or = (a^2 + ba + 3)(a^2 - ba - 13)
or = (a^2 + ba - 3)(a^2 - ba + 13)
檢驗 a 和 a^2 的係數即可分解出

[yellow0617]

了解了!謝謝老師~另外想再請問老師13、40

[thepiano]

第 13 題
前 10 項的和 = 10
第 11 ~ 20 項的和 = 70 - 10 = 60

第 11 ~ 20 項的和 = r^10 * 前 10 項的和
r^10 = 6

第 21 ~ 30 項的和 = r^10 * 第 11 ~ 20 項的和 = 6 * 60 = 360

S_30 = 10 + 60 + 360


第 40 題
鳧每日飛整段路程的 1/7
鴈每日飛整段路程的 1/9
兩鳥相向而飛
所求 = 1 / (1/7 + 1/9)

[yellow0617]

想請問老師40 1/1/7+1/9不是意思是它們各自從開頭的地方飛嗎?可是他們已經相遇過是不是要找最小公倍數?

[thepiano]

題意是一隻由南向北飛，一隻由北向南飛，兩隻在途中相遇

[yellow0617]

懂了!謝謝老師~

[thepiano]

第 11 題
由於 k 要最小
可先選 1 ~ 11 這 11 個整數，接下來選 12 和 13
12 和 1 除以 11 的餘數相同
13 和 2 除以 11 的餘數也相同
故任意 11 + 2 = 13 個相異整數，就可保證 "差積" 中會有 11^2 = 121 這個因數