美夢成真教甄討論區

請教兩題奧林匹克題目，謝謝。

第 1 題
p^2 + q^2 + r^2 + s^2 = 9405 + 2(q^2 + s^2)
先找 q^2 + s^2 的最大值

p > 3q，r > 3s
9405 = p^2 - q^2 + r^2 - s^2 > 9q^2 - q^2 + 9s^2 - s^2 = 8(q^2 + s^2)
q^2 + s^2 < 1175.625

q > 2r > 6s
(q，s) = (31，3)、(31，2)、(29，3)、(29，2)、(23，3)、(23，2)、(19，2)、(17，2)

當 (q，s) = (31，3)，(q，r，s) = (31，13，3)、(31，11，3)
p = √(9405 + q^2 - r^2 + s^2)，非質數

當 (q，s) = (31，2)，(q，r，s) = (31，13，2) 時
p = √(9405 + q^2 - r^2 + s^2) = 101

此時 p^2 + q^2 + r^2 + s^2 = 9405 + 2(q^2 + s^2) = 9405 + 2(31^2 + 2^2) = 11335 是最大值


第 2 題
固定 A 點，將 △ABP 逆時針旋轉 60 度，使 AB 和 AC 重合
設 P 旋轉到 P'
則 △APP' 是正三角形，△CPP' 是直角三角形，∠AP'C = 150 度

利用餘弦定理，可求出 AC^2 = 169 + 60√3
利用面積公式，可求出 △AP'C = 15

ABCP = △ABC + △AP'C - △APP' - △CPP' = 36√3 + 30
m - n = 6

謝謝thepiano老師詳細的解釋過程。