取球問題

[armopen]

已知袋中有 3 個黑球，4 個白球，今自袋中隨機取球，每次取出一球，取出後不放回，

而在有一種色球被取完時就停止，則恰取 5 球的機率為？

我知道可以分成 (1) 第 5 球取完黑球 及 (2) 第 5 球取完白球 兩種情況來討論

但不懂書上的解法，請大家幫忙看看，謝謝！

(1) C(4,2) * 3 * 2 * 4 * 3 * 1 / P(7,5) = 6/35

(2) C(4,3) * 4 * 3 * 2 * 3 * 1 / P(7,5) = 4/35

我自已對於 (1) 的想法是，既然要算 "最後取完黑球" 的情形數，先取一個黑球放最後 C(3,1),

前面四次是剩下的 2 個黑球與其中 2 個白球的排列，故此情形的方法數是 C(3,1) * [ C(2,2) * C(4,2) */2! ] * 4!

請問這樣作錯在哪邊呢？

[thepiano]

3 個黑球應是一樣的，4 個白球也是

取到第 5 球是黑球且停止取球，表示前 4 球中有 2 黑 2 白，有 C(4，2) = 6 種情形

取到第 5 球是白球且停止取球，表示前 4 球中有 1 黑 3 白，有 C(4，3) = 4 種情形

所有取球情形有 7! / (4!3!) = 35 種

所求 = (6 + 4) / 35

[armopen]

可是對於老師提到球是一樣的，我有下面的疑惑：

設袋子中有二個紅球，一個白球，從中取一球，取到紅球的機率是 2/3.

這時樣本空間其實是看成 {紅1，紅2，白} 而不是 {紅，紅，白} = {紅，白}，也就是說球是看成不一樣的，

這樣才會有樣本空間中每個樣本點出現的機會均等 ( Laplace 古典機率的定義)，所以我覺得好像不能將球看

成一樣的，要像書上那樣看成不一樣的才對，還是說我哪邊想錯了呢？ 請老師解惑，謝謝.

註： 我打的原來書上的解法可以請老師解釋一下嗎？

[thepiano]

球一樣，個數不一樣，機率自然不同

{紅，紅，白} 怎會等於 {紅，白}？

[armopen]

球一樣，個數不一樣，機率自然不同

{紅，紅，白} 怎會等於 {紅，白}？

因為就集合的層次而言 {x,x,y} = {x,y}, 所以 {紅，紅，白} = {紅，白} <== 我的想法

[garfieldcat]

我來插花回答一下吧

1. C(3,1) * [ C(2,2) * C(4,2) */2! ] * 4!

你的想法如果是把球視為相異,那這裡的2!是不用除的~~就是2不同黑2不同白要排列..所以直接X 4! 即可~

那你就會發現答案是對的..

配合分母為 P(7,5) -->7個不同的球取5個排列

答案是 6/35 沒錯

2. 鋼琴老師算法是另一種

這要回到機率的定義

p = n(A) / n(s) A :事件數 s:樣本空間

你有發現鋼琴老師的分母是跟你不一樣的嗎

7! / (4!3!) = 35

以鋼琴老師算法而言,它的樣本空間是看成 我們熟悉的 同物排列

也就是他的"樣本空間",是以他的觀點出發的"所有結果"

所以上面的事件數 ,的確只要寫 C(4,2) -->決定哪兩個放黑 (或說放白)

配合起來~~當然機率是沒問題的~~


3.你的古典機率定義是沒問題的..

的確在算機率時,需把球視為相異,就如同你寫的

但是想法跟解法是有很多種的~~選自己比較容易了解的~就ok囉


4.話說..那個書上的解法..我一時還沒看懂..sorry囉 ~

不過..也不見得一定要用書上的解...

很多老師精采的解法可以偷學哩~~

p.s你解這題的觀念方法也很清楚阿 ^^ 只是有一點小小錯而已~~

[armopen]

謝謝 thepiano 老師和 garfieldcat 老師的解說，觀念清楚很多，感恩