99桃園高中

[marsden]

設xi為整數且xi介於-1與2之間，x1+x2+…+xn=19，且這n個數的平方和為99，求這n個數的立方和之最大值與最小值？(不知如何下手)

[thepiano]

這樣下手 ......

a 個 -1，b 個 1，c 個 2
則
-a + b + 2c = 19
a + b + 4c = 99

所求為 -a + b + 8c = 19 + 6c 之最大值與最小值

[八神庵]

題目與答案,大家請享用!

[八神庵]

在此向各位請教第11題

[thepiano]

34 ≡ 1 (mod 3)
25 ≡ 1 (mod 3)
23 ≡ 2 (mod 3)
21 ≡ 0 (mod 3)
19 ≡ 1 (mod 3)
18 ≡ 0 (mod 3)

先考慮 2 袋藍色彈珠個數除以 3 的餘數，且從 (0，0) 考慮
則 3 袋彩色彈珠個數除以 3 的餘數，必為 (1，1，1)

藍色彈珠總數 = 21 + 18 = 39
彩色彈珠總數 = 34 + 25 + 19 = 78

運氣不錯吧

[thepiano]

以下是 moun9 老師的妙解

其實可以直接取mod3之後得 1,1,2,0,1,0

可知拿掉紅球那袋, 剩下五袋總和必為3的倍數(因為彩色彈珠總數為藍色彈珠總數的2倍)

所以可以看出一定是拿掉2, 所以紅球彈珠有23個, 這樣就不需要去討論

[jamesbondmartin]

想請問老師 3.、4. 的 （3）（4）（5）、16.

[thepiano]

第 3 題
(3) a ≡ (3^50)^3 + 3 * 3^50 ≡ 9^75 + 3 * 9^25 ≡ (-1)^75 + 3 * (-1)^25 ≡ -4 ≡ 6 (mod 10)

(4)(5) a 的小數部分為 3/(3^50) + 1/[(3^50)^3] = (1/3)^49 + (1/3)^150
只要看 1/(3^49) 這部分就可以了，剩下的是基本題，就不做了


第 4 題
(1) 5/(5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 1/3

(2) C(10，1) * (1/3) * (2/3)^9 = 5120/3^10

(3) C(10，k) * (1/3)^k * (2/3)^(10-k) ≧ C(10，k-1) * (1/3)^(k-1) * (2/3)^(11-k)
k ≦ 11/3，k = 3 時，有最大值

(4) 10 * 1/3 = 10/3

(5) √(10 * 1/3 * 2/3) = √20/3


第 16 題
設圓心 O，OC = x，AC = y
OC + AB = x + 2y

(x + 2y)^2 ≦ (x^2 + y^2)(1^2 + 2^2) = 50^2 * 5
x + 2y ≦ 50√5

AB + CD = AB + OC + OD ≦ 50 + 50√5

[jamesbondmartin]

謝謝老師