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第 1 題
甲的十位必大於或等於乙的十位，有 9^2 - C(9，2) = 45 種情形
甲的個位要大於乙的個位，有 C(10，2) = 45 種情形
所求 = 45 * 45 = 2025
第 5 題
定坐標 A(0，0)，B(-4√3，4)，C(0，8)
則 Q(-2√3，6)，作 Q 關於 Y 軸之對稱點 Q'(2√3，6)
則所求 = BQ' = 4√7
第 10 題
cosx - √3sinx = 0.7
(1/2)cosx - (√3/2)sinx = 7/20
cos(x + π/3) = 7/20
0 ≦ x ≦ 4π，若 cosx = 7/20 的四根由小而大分別是 a、b、c、d
則 a + d = b + c = 4π
所求 = 8π - (π/3) * 4 = (20/3)π
103 竹北高中
版主: thepiano
103 竹北高中
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Re: 103 竹北高中
填充第 3 題
很漂亮的題目......
令 AC = BC = 3t
則 AB^2 = (3t)^2 + (3t)^2 - 2(3t)(3t)cosC = 24t^2
AB = 2√6t
AD/AC = AH/AB
(3t - 12)/(3t) = AH/(2√6t)
AH = 2√6t - 8√6
BH = 8√6
HF^2 = 8√6 * (2√6t - 8√6) = 96t - 384
DH = AD = 3t - 12
令拋物線方程式為 y^2 = 4cx
所求 = 4c = y^2/x = (96t - 384)/(3t - 12) = 32
很漂亮的題目......
令 AC = BC = 3t
則 AB^2 = (3t)^2 + (3t)^2 - 2(3t)(3t)cosC = 24t^2
AB = 2√6t
AD/AC = AH/AB
(3t - 12)/(3t) = AH/(2√6t)
AH = 2√6t - 8√6
BH = 8√6
HF^2 = 8√6 * (2√6t - 8√6) = 96t - 384
DH = AD = 3t - 12
令拋物線方程式為 y^2 = 4cx
所求 = 4c = y^2/x = (96t - 384)/(3t - 12) = 32
Re: 103 竹北高中
第 8 題
f '(x) = 3x^2 - 6x
設切點為 Q(t，t^3 - 3t^2)
(t^3 - 3t^2 - 14)/(t - 1) = 3t^2 - 6t
t = -1
Q(-1，-4)
切線為 y + 4 = 9(x + 1)，即 y = 9x + 5
解 x^3 - 3x^2 = 9x + 5
可得另一交點 (5，50)
所求 = ∫[9x + 5 - (x^3 - 3x^2)]dx (從 -1 積到 5) = 108
f '(x) = 3x^2 - 6x
設切點為 Q(t，t^3 - 3t^2)
(t^3 - 3t^2 - 14)/(t - 1) = 3t^2 - 6t
t = -1
Q(-1，-4)
切線為 y + 4 = 9(x + 1)，即 y = 9x + 5
解 x^3 - 3x^2 = 9x + 5
可得另一交點 (5，50)
所求 = ∫[9x + 5 - (x^3 - 3x^2)]dx (從 -1 積到 5) = 108
Re: 103 竹北高中
第 7 題
x + y + z - 2 = 0
x + 2y + z - 2 = 0
在上述直線上取二點 A(0，0，2)，B(1，0，1)
分別找出 A 和 B 在平面 5x - y - 2z = 8 上的投影點 A'(2，-2/5，6/5)，B'(11/6，-1/6，2/3)
向量 A'B' = (-1/6，7/30，-8/15)
直線 A'B' 可表為
x = 2 + 5t
y = -2/5 - 7t
z = 6/5 + 16t
再轉為對稱比例式
(x - 1)/5 = (y - 1)/(-7) = (z + 2)/16
x + y + z - 2 = 0
x + 2y + z - 2 = 0
在上述直線上取二點 A(0，0，2)，B(1，0，1)
分別找出 A 和 B 在平面 5x - y - 2z = 8 上的投影點 A'(2，-2/5，6/5)，B'(11/6，-1/6，2/3)
向量 A'B' = (-1/6，7/30，-8/15)
直線 A'B' 可表為
x = 2 + 5t
y = -2/5 - 7t
z = 6/5 + 16t
再轉為對稱比例式
(x - 1)/5 = (y - 1)/(-7) = (z + 2)/16