98 彰化高中第 13 題

[thepiano]

求下列聯立方程式之實數解 (x_1，x_2，x_3，x_4，x_5，x_6)

(x_3 + x_4 + x_5 + x_6)^5 = 4x_1 + 4
(x_4 + x_5 + x_6 + x_1)^5 = 4x_2 - 4
(x_5 + x_6 + x_1 + x_2)^5 = 4x_3 + 4
(x_6 + x_1 + x_2 + x_3)^5 = 4x_4 - 4
(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)^5 = 4x_5 + 4
(x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^5 = 4x_6 - 4


這題蠻好玩的!
x_1 = x_3 = x_5
x_2 = x_4 = x_6
(x_1，x_2，x_3，x_4，x_5，x_6) = (-1，1，-1，1，-1，1) = (-3/4，5/4，-3/4，5/4，-3/4，5/4) = (-5/4，3/4，-5/4，3/4，-5/4，3/4)

[MathPower]

請問鋼琴老師
x_1 = x_3 = x_5
x_2 = x_4 = x_6
是怎麼看出來的
謝謝

[thepiano]

(x_3 + x_4 + x_5 + x_6)^5 = 4x_1 + 4 ...... (1)
(x_4 + x_5 + x_6 + x_1)^5 = 4x_2 - 4 ...... (2)
(x_5 + x_6 + x_1 + x_2)^5 = 4x_3 + 4 ...... (3)
(x_6 + x_1 + x_2 + x_3)^5 = 4x_4 - 4 ...... (4)
(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)^5 = 4x_5 + 4 ...... (5)
(x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^5 = 4x_6 - 4 ...... (6)

若 x_1 ＞ x_3 ...... (i)
由 (1) 和 (3)
(x_3 + x_4 + x_5 + x_6)^5 ＞ (x_5 + x_6 + x_1 + x_2)^5
x_3 + x_4 ＞ x_1 + x_2
x_4 ＞ x_2

由 (4) 和 (2)
(x_6 + x_1 + x_2 + x_3)^5 ＞ (x_4 + x_5 + x_6 + x_1)^5
x_2 + x_3 ＞ x_4 + x_5
x_3 ＞ x_5 ...... (ii)

由 (3) 和 (5)
(x_5 + x_6 + x_1 + x_2)^5 ＞ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)^5
x_5 + x_6 ＞ x_3 + x_4
x_6 ＞ x_4

由 (6) 和 (4)
(x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^5 ＞ (x_6 + x_1 + x_2 + x_3)^5
x_4 + x_5 ＞ x_6 + x_1
x_5 ＞ x_1 ...... (iii)

由 (i)，(ii)，(iii) 可知 x_1 = x_3 = x_5
同理 x_2 = x_4 = x_6

若一開始是假設 x_1 ＜ x_3，結果一樣！