104 桃園高中
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104 桃園高中
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Re: 104 桃園高中
提供一下計算題答案
計算第 1 題
(1) 最大值 8S^3 / (27abc)，重心
(2) 最小值 (a + b + c)^2 / (2S)，內心
計算第 2 題
最大值 1 + √2
最小值 1
計算第 1 題
(1) 最大值 8S^3 / (27abc)，重心
(2) 最小值 (a + b + c)^2 / (2S)，內心
計算第 2 題
最大值 1 + √2
最小值 1
Re: 104 桃園高中
第 12 題
x^2 + y^2 + z^2 = 1 的球心 O_1(0，0，0)，半徑 R_1 = 1
x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 4 的球心 O_2(0，0，2)，半徑 R_2 = 2
兩球相交部分有一公共圓 P(平行 xy 平面)，令其半徑為 r
設 O_1 到圓 P 之距離為 h_1，O_2 到圓 P 之距離為 h_2
h_1 + h_2 = O_1O_2 = 2
則
r^2 + h_1^2 = R_1^2
r^2 + h_2^2 = R_2^2
h_2^2 - h_1^2 = 3
(h_2 + h_1)(h_2 - h_1) = 3
h_1 = 1/4，h_2 = 7/4
R_1 - h_1 = 3/4，R_2 - h_2 = 1/4
所求 = 球半徑 1，高 3/4 的球缺體積 + 球半徑 2，高 1/4 的球缺體積
= π[(3/4)^2 * (1 - 1/4) + (1/4)^2 * (2 - 1/12)]
= (13/24)π
x^2 + y^2 + z^2 = 1 的球心 O_1(0，0，0)，半徑 R_1 = 1
x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 4 的球心 O_2(0，0，2)，半徑 R_2 = 2
兩球相交部分有一公共圓 P(平行 xy 平面)，令其半徑為 r
設 O_1 到圓 P 之距離為 h_1，O_2 到圓 P 之距離為 h_2
h_1 + h_2 = O_1O_2 = 2
則
r^2 + h_1^2 = R_1^2
r^2 + h_2^2 = R_2^2
h_2^2 - h_1^2 = 3
(h_2 + h_1)(h_2 - h_1) = 3
h_1 = 1/4，h_2 = 7/4
R_1 - h_1 = 3/4，R_2 - h_2 = 1/4
所求 = 球半徑 1，高 3/4 的球缺體積 + 球半徑 2，高 1/4 的球缺體積
= π[(3/4)^2 * (1 - 1/4) + (1/4)^2 * (2 - 1/12)]
= (13/24)π
Re: 104 桃園高中
計算第 2 題
(|sinx| + |cosx|)^2 = 1 + |sin2x|
令 |sin2x| = t
原式改寫成 f(t) = √(t + 1) + t^4
在 0 ≦ t ≦ 1 ，f(t) 是遞增函數
故 1 ≦ f(t) ≦ 1 + √2
(|sinx| + |cosx|)^2 = 1 + |sin2x|
令 |sin2x| = t
原式改寫成 f(t) = √(t + 1) + t^4
在 0 ≦ t ≦ 1 ，f(t) 是遞增函數
故 1 ≦ f(t) ≦ 1 + √2