期望值4題

[HOLUKEN]

第7-8-9-14麻煩老師指點一下

[thepiano]

第 7 題
投入 A 的機率 = 0.1
投入 B 的機率 = 0.2
投入 C 的機率 = 0.3
皆未投進的機率 = 0.4

(1) 三個空袋的機率：0.4^3
(2) 二個空袋的機率：0.4^2 * (0.1 + 0.2 + 0.3) * C(3，2) + 0.4 * (0.1^2 + 0.2^2 + 0.3^2) * C(3，1) + (0.1^3 + 0.2^3 + 0.3^3)
(3) 一個空袋的機率：0.4 * (0.1 * 0.2 + 0.2 * 0.3 + 0.3 * 0.1) * 3! + (0.1^2 * 0.2 + 0.1^2 * 0.3 + 0.2^2 * 0.1 + 0.2^2 * 0.3 + 0.3^2 * 0.1 + 0.3^2 * 0.2) * C(3，2)

最後分別相乘再相加


第 8 題
C(7，3) = 35
X = 13 = 7 + 6，機率 5/35
X = 12 = 7 + 5，機率 4/35
X = 11 = 7 + 4 = 6 + 5，機率 3/35 + 4/35 = 7/35
X = 10 = 7 + 3 = 6 + 4，機率 2/35 + 3/35 = 5/35
X = 9 = 7 + 2 = 6 + 3 = 5 + 4，機率 1/35 + 2/35 + 3/35 = 6/35
X = 8 = 6 + 2 = 5 + 3，機率 1/35 + 2/35 = 3/35
X = 7 = 5 + 2 = 4 + 3，機率 1/35 + 2/35 = 3/35
X = 6 = 4 + 2，機率 1/35
X = 5 = 3 + 2，機率 1/35

最後分別相乘再相加


第 9 題
(1)
(i) 正面，點數 4，機率 (1/2) * (1/6)

(ii) 反面，點數和 4，機率 (1/2) * (3/36)

兩者相加

(2)
(i) X = 1，Y = 1 ~ 6，機率均為 (1/2) * (1/6)
(1/2) * (1/6) * (2 + 3 + ... + 7)

(ii)
X = 2，Y = 2，機率 (1/2) * (1/36)
X = 2，Y = 3，機率 (1/2) * (2/36)
X = 2，Y = 4，機率 (1/2) * (3/36)
X = 2，Y = 5，機率 (1/2) * (4/36)
X = 2，Y = 6，機率 (1/2) * (5/36)
X = 2，Y = 7，機率 (1/2) * (6/36)
X = 2，Y = 8，機率 (1/2) * (5/36)
X = 2，Y = 9，機率 (1/2) * (4/36)
X = 2，Y = 10，機率 (1/2) * (3/36)
X = 2，Y = 11，機率 (1/2) * (2/36)
X = 2，Y = 12，機率 (1/2) * (1/36)
(1/2) * (1/36) * 4 + (1/2) * (2/36) * 5 + ...... + (1/2) * (2/36) * 13 + (1/2) * (1/36) * 14

兩者相加


(3)
(i) X = 1，Y = 1 ~ 6，機率均為 (1/2) * (1/6)
(1/2) * (1/6) * (1 + 2 + ... + 6)

(ii)
X = 2，Y = 2，機率 (1/2) * (1/36)
X = 2，Y = 3，機率 (1/2) * (2/36)
X = 2，Y = 4，機率 (1/2) * (3/36)
X = 2，Y = 5，機率 (1/2) * (4/36)
X = 2，Y = 6，機率 (1/2) * (5/36)
X = 2，Y = 7，機率 (1/2) * (6/36)
X = 2，Y = 8，機率 (1/2) * (5/36)
X = 2，Y = 9，機率 (1/2) * (4/36)
X = 2，Y = 10，機率 (1/2) * (3/36)
X = 2，Y = 11，機率 (1/2) * (2/36)
X = 2，Y = 12，機率 (1/2) * (1/36)
(1/2) * (1/36) * 4 + (1/2) * (2/36) * 6 + ...... + (1/2) * (2/36) * 22 + (1/2) * (1/36) * 24

兩者相加


第 14 題
(1) E(X) = np = 9/2，Var(X) = np(1 - p) = 45/16
1 - p = (45/16) / (9/2) = 5/8
p = 3/8
n = 12
C(k，2) / C(16，2) = 3/8
k = 10

(2)
總次數 0 次，得 1 元，機率 (5/8)^12 * C(12，0)
總次數 1 次，得 1 元，機率 (3/8) * (5/8)^11 * C(12，1)
總次數 2 次，得 3^2 元，機率 (3/8)^2 * (5/8)^10 * C(12，2)
總次數 3 次，得 5^2 元，機率 (3/8)^3 * (5/8)^9 * C(12，3)
總次數 4 次，得 7^2 元，機率 (3/8)^4 * (5/8)^8 * C(12，4)
總次數 5 次，得 9^2 元，機率 (3/8)^5 * (5/8)^7 * C(12，5)
總次數 6 次，得 11^2 元，機率 (3/8)^6 * (5/8)^6 * C(12，6)
總次數 7 次，得 13^2 元，機率 (3/8)^7 * (5/8)^5 * C(12，7)
總次數 8 次，得 15^2 元，機率 (3/8)^8 * (5/8)^4 * C(12，8)
總次數 9 次，得 17^2 元，機率 (3/8)^9 * (5/8)^3 * C(12，9)
總次數 10 次，得 19^2 元，機率 (3/8)^10 * (5/8)^2 * C(12，10)
總次數 11 次，得 21^2 元，機率 (3/8)^11 * (5/8) * C(12，11)
總次數 12 次，得 23^2 元，機率 (3/8)^12 * C(12，12)

最後分別相乘再相加