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計算題參考答案
第 1 題
(1) 1/2
(2) √2/2
第 2 題
(1) C(5，0)
(2) -2√3 < y_0 < 2√3
(3) (14/3)√7
111 臺中一中
版主: thepiano
111 臺中一中
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Re: 111 臺中一中
填充甲 第 2 題
△PAB/△PAC = sin∠PAB/sin∠PAC = 2/3
sin∠PAB/sin(π/3 - ∠PAB) = 2/3
用和角公式展開可求出
sin∠PAB = √3/√19
sin∠PAC = 3√3/(2√19)
同理可求出
sin∠PBA = √3/√7
sin∠PCA = 3√3/(2√13)
最後用正弦定理可求出 PA^2：PB^2：PC^2 = 19：7：13
△PAB/△PAC = sin∠PAB/sin∠PAC = 2/3
sin∠PAB/sin(π/3 - ∠PAB) = 2/3
用和角公式展開可求出
sin∠PAB = √3/√19
sin∠PAC = 3√3/(2√19)
同理可求出
sin∠PBA = √3/√7
sin∠PCA = 3√3/(2√13)
最後用正弦定理可求出 PA^2：PB^2：PC^2 = 19：7：13
Re: 111 臺中一中
填充乙 第 9 題
把質數由小到大依序排列，第 14 個是 43，第 15 個是 47
若取 1 和前 14 個質數的平方，則這 15 個數兩兩互質且其中無質數
接著證明，從正整數 1 ~ 2022 中任取 16 個兩兩互質的數，則此 16 個數中，必至少有一個質數
假設這 16 個兩兩互質的數中，沒有質數
(1) 這 16 個兩兩互質的數中有 1
若剩下的 15 個合數，分別是 a_1 ~ a_15，且其最小的質因數分別是 p_1 ~ p_15
其中 p_1 < p_2 < ... < p_15
由於 a_1 ~ a_15 互質
a_15 ≧ 47^2 = 2209，不合
(2) 這 16 個兩兩互質的數中沒有 1
證明同 (1)
故從正整數 1 ~ 2022 中任取 16 個兩兩互質的數，則此 16 個數中，必至少有一個質數
把質數由小到大依序排列，第 14 個是 43，第 15 個是 47
若取 1 和前 14 個質數的平方，則這 15 個數兩兩互質且其中無質數
接著證明，從正整數 1 ~ 2022 中任取 16 個兩兩互質的數，則此 16 個數中，必至少有一個質數
假設這 16 個兩兩互質的數中，沒有質數
(1) 這 16 個兩兩互質的數中有 1
若剩下的 15 個合數，分別是 a_1 ~ a_15，且其最小的質因數分別是 p_1 ~ p_15
其中 p_1 < p_2 < ... < p_15
由於 a_1 ~ a_15 互質
a_15 ≧ 47^2 = 2209，不合
(2) 這 16 個兩兩互質的數中沒有 1
證明同 (1)
故從正整數 1 ~ 2022 中任取 16 個兩兩互質的數，則此 16 個數中，必至少有一個質數