113 鳳山高中

[thepiano]

請參考附件

[thepiano]

第 7 題
[x/2] - [x/3] = x/7
整數減整數是整數，故 x 為 7 的倍數

(x/2 - 1) - x/3 ＜ x/7 ＜ x/2 - (x/3 - 1)
-42 ＜ x ＜ 42

代入檢驗，可知 x = 21、7、0、-7、-14、-28


第 11 題
O(0，0)、P(12，5)

OP 交圓 (x - 12)^2 + (y - 5)^2 = 2^2 於 C
OP = 13，OC = 11

作 C 關於 y = √3x 的對稱點 E；關於 x 軸的對稱點 F
OE = OF = OC = 11，∠EOF = 120 度

EF 交 y = √3x 於 A；交 x 軸於 B
所求為 EF

[thepiano]

第 12 題
考慮 "至少有 1 個數字不超過 1" 和 "至少有 2 個數字不超過 2" 就好

不用考慮 "至少有 3 個數字不超過 3"，因為每個字串中的 4 個數字都不超過 3

用反面做法
全部 - "所有數字都超過 1" - "恰有 1 個數字(0 或 1 或 2)不超過 2，其他 3 個都超過 2"
= 4^4 - 2^4 - 4 * 3 + 4
= 232

最後加 4，是因為 2333、3233、3323、3332 這四個被扣了兩次，要加回來

[thepiano]

第 5 題
a_1 用 a 取代，b_1 用 b 取代

a + b = 1
a + d + br = 4
a + 2d + br^2 = 15
a + 3d + br^3 = 2

第二式減第一式：d + b(r - 1) = 3
第三式減第二式：d + br(r - 1) = 11
第四式減第三式：d + br^2(r - 1) = -13

第六式減第五式：b(r - 1)^2 = 8
第七式減第六式：br(r - 1)^2 = -24

r = -3，b = 1/2，a = 1/2，d = 5

c_6 = a_6 + b_6 = 51/2 + (-243/2) = -96

[Hawlee]

想請問填充2

[thepiano]

第 2 題
zidanesquall 老師已解
https://math.pro/db/viewthread.php?tid= ... 1#pid25737

[Hawlee]

第 2 題
zidanesquall 老師已解
https://math.pro/db/viewthread.php?tid= ... 1#pid25737

不好意思，沒有看懂為甚麼可以這樣直接行列式解

[thepiano]

三向量所張之四面體體積

[Hawlee]

三向量所張之四面體體積

不太知道的點是
2<=x+y+z<=4
所有p的體積就
可以直接用4OA 4OB 4OC所張的體積
去扣掉2OA 2OB 2OC的體積

另外三向量所張的不是六面體的體積嗎，四面體不需要再乘以1／6

[thepiano]

三向量的三個終點，形成四面體的底面三角形，就張成四面體了，不是只能張成平行六面體

這題是利用比例關係去算，不用乘以 1/6

如果還是不易理解，把 A、B、C 轉成 x 軸、y 軸、z 軸上的單位向量
考慮平面 x + y + z = 2 和 x + y + z = 4 在第一卦限所夾的區域體積
最後用比例關係就可求出答案