114 內壢高中

[thepiano]

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填充第 1 題
[x - √(x^2 - 2011)][y + √(y^2 - 2011)] = -2011
同乘 x + √(x^2 - 2011)，整理可得
√(x^2 - 2011) + √(y^2 - 2011) = -x - y

同乘 y - √(x^2 - 2011)，整理可得
√(x^2 - 2011) + √(y^2 - 2011) = x + y

√(x^2 - 2011) + √(y^2 - 2011) = 0
2x + y = x = ±√2011


計算第 3 題
323 = 17 * 19

15! ≡ 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * (-8) * (-7) * (-6) * (-5) * (-4) * (-3) * (-2) (mod 17)
≡ -[(2 * 3 * 4 * 5) * (6 * 7 * 8)]^2 (mod 17)
≡ -(1 * 13)^2 (mod 17)
≡ -(-4)^2 (mod 17)
≡ 1 (mod 17)

15! ≡ 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * (-9) * (-8) * (-7) * (-6) * (-5) * (-4) (mod 19)
≡ (2 * 3) * [(4 * 5) * (6 * 9) * (7 * 8)]^2 (mod 19)
≡ 6 * [1 * (-3) * (-1)]^2 (mod 19)
≡ 16 (mod 19)

令 15! = 323a + 19b + 16
取 b = 1，19b + 16 = 35 ≡ 1 (mod 17)

故 15! ≡ 35 (mod 323)

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填充第 7 題
考慮以下 6 種 (x，y，z) 就好
(3，1，1)、(1，3，1)、(1，1，3)
(2，2，1)、(2，1，2)、(1，2，2)

所求 = 3 * C(5，3) * C(2，1) * [(1/2)^3(1/3)(1/6) + (1/2)(1/3)^3(1/6) + (1/2)(1/3)(1/6)^3] + 4 * C(5，2) * C(3，2) * [(1/2)^2(1/3)^2(1/6) + (1/2)^2(1/3)(1/6)^2 + (1/2)(1/3)^2(1/6)^2] = 5/3

[thepiano]

計算題第 4 題
n = 1/a_1 + 1/a_2 + 1/a_3 + 1/a_4

(1) n 的最大值是 4，此時 a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 1

n 的最小值是 -4，此時 a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = -1

(2) 若 n = 3
則 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 2 個 1，另兩個為 2，不互質，不合題意

若 n = -3
則 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 2 個 -1，另兩個為 -2，不互質，不合題意

(3) 若 a_1、a_2、a_3、a_4 中有 3 個 1，另一個為 -1，則 n = 2

若 a_1、a_2、a_3、a_4 中有 3 個 -1，另一個為 1，則 n = -2

(4) 若 n = 1
則 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 2 個 1，另兩個為 -2，不互質，不合題意
或 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 1 個 1，另三個不互質，不合題意
或 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 0 個 1，四個數不互質，不合題意

若 n = -1
則 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 2 個 -1，另兩個為 2，不互質，不合題意
或 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 1 個 -1，另三個不互質，不合題意
或 a_1、a_2、a_3、a_4 中，有 0 個 -1，四個數不互質，不合題意

(5) 若 a_1、a_2、a_3、a_4 中有 2 個 1，另 2 個為 -1，n = 0