114 師大附中二招

[thepiano]

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第 F 題，送分

[thepiano]

第 N 題
不失一般性，令 a ≧ b ≧ c
abc = 2a + 2b + 2c ≦ 6a
1 ≦ bc ≦ 6

(1) bc = 1，b = c = 1，無解
(2) bc = 2，b = 2，c = 1，無解
(3) bc = 3，b = 3，c = 1，a = 8
(4) bc = 4，(b，c) = (2，2)，a = 4 或 (b，c) = (4，1)，a = 5
(5) bc = 5，b = 5，c = 1，無解
(6) bc = 6，(b，c) = (3，2) 或 (6，1)，無解

(a，b，c) = (8，3，1)、(4，2，2)、(5，4，1)
排列後，計 15 組解

[thepiano]

第 O 題
Σ(i^4) = n(n + 1)(2n + 1)(3n^2 + 3n - 1)/30

k(k + 1)(21 - k)(22 - k)
= k(k - 21)(k + 1)(k - 22)
= (k^2 - 21k)(k^2 - 21k - 22)
= (k^2 - 21k)^2 - 22(k^2 - 21k)
= k^4 - 42k^3 + 419k^2 + 462k

分子前 10 個與後 10 個一樣
所以 k 算 1 ~ 10，再乘以 2

四次方和 = (10 * 11 * 21 * 329)/30
三次方和 = (-42 * 10^2 * 11^2)/4
二次方和 = (419 * 10 * 11 * 21)/6
一次方和 = (462 * 10 * 11)/2
分母和 = (21 * 22 * 23)/3
以上都先約去 21 * 22

所求 = 2[(329/6) - 275 + (2095/6) + 55]/(23/3) = 48