114 彰化女中

[thepiano]

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第 3 題
a_1 = 0，a_2 = 1
n ≧ 3，a_n = (n - 1)[a_(n - 1) + a_(n - 2)]
這是錯排數的遞迴式

a_n = n![1/2! - 1/3! + 1/4! - ... + (-1)^n(1/n!)]

而 e^(-1) = 1/2! - 1/3! + 1/4! - ... + (-1)^n(1/n!) + ...


第 11 題
一種是 A 到此平面的距離 = B、C、D、E 到此平面的距離，此種有 1 個
另一種是 B、C 到此平面的距離 = A、D、E 到此平面的距離，類似此種的有 4 個
這 5 個平面圍成的多面體，其形體剛好是 A-BCDE 倒過來，且邊長是它的 1/2，體積是它的 1/8


第 13 題
以下都是向量
2AO․BC + 3BO․CA + 5CO․AB = 0
2AO․(AC - AB) + 3BO․(BA - BC) + 5CO․(CB - CA) = 0
2[(1/2)AC^2 - (1/2)AB^2] + 3[(1/2)BA^2 - (1/2)BC^2] + 5[(1/2)CB^2 - (1/2)CA^2] = 0
2(b^2 - c^2) + 3(c^2 - a^2) + 5(a^2 - b^2) = 0
b^2 = (2/3)a^2 + (1/3)c^2

cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac) = [(1/3)a^2 + (2/3)c^2] / (2ac) ≧ [2 * (1/√3)a * (√2/√3)c] / (2ac) = (1/3)√2

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第 5 題
α + β + γ = 4
αβ + βγ + γα = -1
αβγ = -3

f(x) = (x + 2)g(x) + (1 - x)
f(α) = 1 - α、f(β) = 1 - β、f(γ) = 1 - γ

所求 = [f(α)^2 + f(β)^2 + f(γ)^2] / [f(α)f(β)f(γ)]
= [(1 - α)^2 + (1 - β)^2 + (1 - γ)^2] / [(1 - α)(1 - β)(1 - γ)]
= [(α + β + γ)^2 - 2(αβ + βγ + γα) - 2(α + β + γ) + 3] / [-αβγ + (αβ + βγ + γα) - (α + β + γ) + 1]
= -13

第 8 題
寫出四階轉移矩陣
1，1/2，0，0
0，3/8，1/8，0
0，1/8，3/8，0
0，0，1/2，1

第一行表示從 3 枚到 3、2、1、0 枚
第二行表示從 2 枚到 3、2、1、0 枚
第三行表示從 1 枚到 3、2、1、0 枚
第四行表示從 0 枚到 3、2、1、0 枚

初始矩陣
0
1
0
0

乘三次後。第一列的值即為所求


第 14 題
投擲 k (k ≧ 2) 次停止，表示前 (k - 1) 次恰投出 1 次 1 點，第 k 次也投出 1 點
機率 = (k - 1)(1/6)(5/6)^(k - 2)(1/6) = (1/36)(k - 1)(5/6)^(k - 2)

設 f(k) = (k - 1)(5/6)^(k - 2)，所求即 f(k) 有最大值時的 k 值
利用 f(k) ≧ f(k + 1) 及 f(k) ≧ f(k - 1)
即可求出 k = 6 or 7