請教94年數學競賽試題7題

[hugo]

請問板上各位高手，附件的7題競賽試題該如何解。謝謝
順便一問，99年的數學競賽試題該到那去下載呢???

[thepiano]

第 1 題
取出的球恰有10個，則第 10 顆必為紅球，且前 9 顆中必有 4 顆紅球，後 10 顆中必有 5 顆紅球


第 3 題
若 n 個相異點所連成的弦均不相交，可把圓內部分成 C(n，2) + 1 個區域
但實際上每 4 個點可多決定 1 個交點，而每多 1 個交點就多出 1 個區域
故 P(n) = C(n，2) + C(n，4) + 1


第 4 題
97 中一中考過
http://forum.nta.org.tw/examservice/att ... 1212423425


第 5 題
√[(x - 2cosy)^2 + (3x^2 + 9 - 2siny)^2] 是 y = 3x^2 + 9 上一點到圓 x^2 + y^2 = 4 上一點之距離
其最小值出現在 (0，9) 和 (0，2) 之連線長
......


第 6 題
6x^2 - 24x - 4a = 0 之二根為 [6 + √(6a + 36)] / 3 和 [6 - √(6a + 36)] / 3
有二非負實數根，則 6a + 36 ≧ 0 且 6 - √(6a + 36) ≧ 0
-6 ≦ a ≦ 0

令 x^3 + ax^2 + bx - 8 = 0 之三非負實數根為 p，q，r
則 0 ≦ p + q + r = -a ≦ 6
pqr = 8

由算幾 p + q + r ≧ 3(pqr)^(1/3) = 6

故 p = q = r = 2
......


最後一題，舊選聘論壇有，不過它已掛掉很久了 ......

[hugo]

謝謝鋼琴老師的解題。收穫很多。
可請教老師是否知道上那去下載99年競賽試題呢?

[thepiano]

第 7 題
還是寫一下好了

若 A'B' = 3，B'C' = 2√3，C'A' = 2
令 A'(0，0，0)，B'(3，0，0)
易求出 C'(1/6，√143/6，0)

平移 △ABC 使 A 和 A' 重合
A(0，0，0)
令 B(3，0，m)，C(1/6，√143/6，n)

由於 △ABC 是正三角形
√(3^2 + m^2) = √[(3 - 1/6)^2 + (√143/6)^2 + (m - n)^2] = √[(1/6)^2 + (√143/6)^2 + n^2]
易求出 m = 2

AB = √13

最後 cosθ = △A'B'C' / △ABC = √429 / 39


另外，99 年能力競賽試題，應該還沒有放在網路上吧？