請教二題競賽問題

[hugo]

1. 設M是由有限個整數所成的集合，已知從M中任取三個數都能找到其中兩個數的和也在M中。
試問M中至多有多少個整數。

2. 求所有的正整數n, 使得31能整除2^n-1但不能整除2^n+1

謝謝各位大大的幫忙

[ellipse]

1. 設M是由有限個整數所成的集合，已知從M中任取三個數都能找到其中兩個數的和也在M中。
試問M中至多有多少個整數。

2. 求所有的正整數n, 使得31能整除2^n-1但不能整除2^n+1

謝謝各位大大的幫忙

#2
觀察n=5k這型式(k為正整數)
2^n-1=2^(5k)-1=(2^5)^k-1=32^k-1
又32^k-1≡1^k-1≡1-1=0 (mod31)
且32^k+1≡1^k+1≡1+1=2(mod31)
所以n的解為5k(其中k為正整數)

[thepiano]

第 1 題
最多 3 個
M = {a，0，-a}，其中 a 是自然數

若 M 中不只一個自然數 a，還有另一個異於 a 的自然數 b
則 M 中必須還有 a + b
有了 a + b，必須還有 a + 2b，......
如此一來 M 不為有限集合

若 M 中不只一個整數 -a，還有另一個異於 -a 的整數 -b
說明同上......