100 高雄女中 月考試題

[armopen]

有五個由左至右，由小到大的圓 C1, C2, ..., C5 且
圓 C1 與圓 C2 外切, 圓 C2 與圓 C3 外切, 圓 C3 與圓 C4 外切，
圓 C4 與圓 C5 外切,且此五圓有兩條相同的外公切線. 若
圓 C1 的半徑為 4，圓 C5 的半徑為 9，則圓 C3 的半徑為何？

答案： 6

目前看到的作法是「利用這五個圓的半徑 r1, r2, r3, r4, r5 成等比」
則 r1, r3, r5 亦成等比，即 4, r3, 9 成等比推得 r3 = 6.
請問上面用到的等比性質是怎麼來的呢？謝謝.

[thepiano]

設公切線為 L，且 L 與圓 C_1 切於 A，與圓 C_2 切於 B，與圓 C_3 切於 D
過 C_1 作直線 M 平行 L，交 C_2B 於 E，交 C_3D 於 F

則 C_1C_2 / C_1C_3 = C_2E / C_3F
(r_1 + r_2) / (r_1 + 2r_2 + r_3) = (r_2 - r_1) / (r_3 - r_1)
化簡得 r_1r_3 = (r_2)^2
r_1、r_2、r_3 成等比

同理 r_2、r_3、r_4 成等比，r_3、r_4、r_5 成等比
即 r_1、r_2、r_3、r_4、r_5 成等比

[armopen]

原來是利用相似三角形(類似求公切線長的手法)
的手法，謝謝 theipano 老師的辛苦推導