100年建中數理資優班入班鑑定初選第一題

[aikia]

又來請教各位了 ^^"
1.在正100邊形的每一個頂點上都寫有一個正數，每個數是兩側相鄰數的算術平均值或幾何平均值，若所寫的數中有一個是30，則與它相鄰的數是 ________。

[thepiano]

那 100 個數都是 30

[aikia]

鋼琴老師，謝謝你的回答
我看到題目也猜想這100個數都是30
但要如何證明呢？
都是算術平均值
或都是幾何平均值
我想的到如何證明
但題目說是算術平均值或幾何平均值的話，要如何去證明這100個數都是一樣的數？

[thepiano]

若這 100 個數不全是 30
則與 30 相鄰的兩數，一個必大於 30，另一個必小於 30

把 100 個頂點分別依序編號為 1 ～ 100

假設
30 是第 n 個頂點上的數
與 30 相鄰的兩數中，大於 30 的是第 (n+1) 個頂點上的數，小於 30 的是第 (n-1) 個頂點上的數

由算術平均數或幾何平均數之定義可知
... ＜ 第 (n-2) 個頂點上的數 ＜ 第 (n-1) 個頂點上的數 ＜ 第 n 個頂點上的數 = 30 ＜ 第 (n+1) 個頂點上的數 ＜ 第 (n+2) 個頂點上的數 ＜ ...

但正 100 邊形是封閉圖形，上述不等式的頭和尾最後一定要接在一起(也就是相等)，這當然不可能

[aikia]

謝謝老師的回答。