數列收斂

[M9331707]

a_1=1,a_n+1=2-[1/(1+a_n)],試證明<a_n>收斂並求其極限值

[thepiano]

1. 先用數學歸納法證明 a_n 有上界 (1 + √5)/2，再證明 a_n 遞增，即可知 <a_n> 收斂

2. 最後令 lima_n (n → ∞) = a，a = 2 - 1/(1 + a)，a = (1 + √5)/2

[M9331707]

鋼琴老師不好意思
我的問題就是出現在該如何證明<a_n>為遞增數列
我是用(a_k+1)-(a_k)但是在最後不知如何證明大於0

[thepiano]

a_(k + 1) - a_k
= 2 - 1/(1 + a_k) - a_k
= (2 + 2a_k - 1 - a_k - a_k^2) / (1 + a_k)
= [-(a_k - 1/2)^2 + (5/4)] / (1 + a_k) ＞ 0　[因為 0 ＜ a_k ＜ (1 + √5)/2]