相異根之積

[Bee]

x1、 x2… x12為 x12+7x11+1=0 的12個相異根，求 (x12−x1+1) (x22−x2+1)…(x122−x12+1)=?

請問這題要如何切入呢?謝謝!!

[thepiano]

x^2 - x + 1 = (x + ω)(x + ω^2)

x^12 + 7x^11 + 1 = (x - x_1)(x - x_2)......(x - x_12)

(-ω)^12 + 7(-ω)^11 + 1 = (-ω - x_1)(-ω - x_2)......(-ω - x_12)
(-ω^2)^12 + 7(-ω^2)^11 + 1 = (-ω^2 - x_1)(-ω^2 - x_2)......(-ω^2 - x_12)

所求 = [(-ω)^12 + 7(-ω)^11 + 1][(-ω^2)^12 + 7(-ω^2)^11 + 1]

[Bee]

感謝