請問

[jamesbondmartin]

想請問老師以下問題。
1. 三角形ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,若9a^2+9b^2-17c^2=0,求 (cotA+cotA)/cotC之值
2.解方程式 [4次根號(16-x)]+[4次根號(1+x)]=3 之實數解

[thepiano]

這兩題請參考附件

[ellipse]

想請問老師以下問題。
1. 三角形ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,若9a^2+9b^2-17c^2=0,求 (cotA+cotA)/cotC之值

另解:
9a^2+9b^2-17c^2=0,得a^2+b^2-c^2=(8/9)*c^2-----------(1)
由餘弦定理得cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)----------(2)
由正弦定理得1/(sinA)=2R/a (R為三角形外接圓半徑)------(3)
將(2)&(3)代入cotA=cosA/sinA =(b^2+c^2-a^2)*2R/ (2abc)
同理cotB=(a^2+c^2-b^2)*2R/(2abc) ; cotC=(a^2+b^2-c^2)*2R/(2abc)
所求=[(b^2+c^2-a^2)+(a^2+c^2-b^2)]/(a^2+b^2-c^2)
=(2c^2)/(a^2+b^2-c^2)
=(2c^2)/[(8/9)*c^2] ( by(1) )
=9/4
註:這是一題很有名的考古題~

[thepiano]

第 2 題
做到
a + b = 3
a^4 + b^4 = 17
若不想解四次方程，可以這樣做

令 ab = c
a^2 + b^2 = 9 - 2c
a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2(ab)^2 = (9 - 2c)^2 - 2c^2 = 17
c = 2 or c = 16(不合，a 和 b 非實數)
a = 1，b = 2 or a = 2，b = 1

[ellipse]

第 2 題
接著鋼琴兄解法
做到
a + b = 3----------(1)
a^4 + b^4 = 17---------(2)
另解:
令a=1.5+t ,b=1.5-t-------(3)
將(3)代入(2)
整理得16*t^4+216*t^2-55=0
t^2=1/4或-55/4(負不合)
t=1/2或-1/2代入(3)
當a=2時,b=1
當a=1時,b=2