Re: 100年板橋高中數學考題
發表於 : 2011年 6月 7日, 10:24
第 6 題
a_n 應該是不能重複才能用人工算出來 ......
若 S_n 不是 3 的倍數,則 a_(n+1) 是 3 的倍數的話,S_(n+1) 也一定不是 3 的倍數
所以只要 a_1 不是排 3 的倍數,其餘位置都可以排 3 的倍數
再來先排 34 個除以 3 餘 1 和 33 個除以 3 餘 2 的數
若 a_1 ≡ 2 (mod 3)
以下數列是符合題意的 a_n 除以 3 之餘數排列
2,2,1,2,1,2,1,......
可發現除了 a_1,以下都是交錯排列
但 a_n ≡ 2 (mod 3) 的個數比 a_n ≡ 1 (mod 3) 的個數少 1 個
等 a_n ≡ 2 (mod 3) 都排完了,接下來一定會遇到連續兩個 a_n ≡ 1 (mod 3),然後就爆了
故 a_1 ≡ 1 (mod 3)
以下數列是符合題意的 a_n 除以 3 之餘數排列
1,1,2,1,2,1,2,......
可發現除了 a_1,以下也都是交錯排列
最後把 33 個 a_n ≡ 0 (mod 3) 的數插入以上的 67 個間隔中
所求 = H(67,33) * 34! * 33! * 33!
a_n 應該是不能重複才能用人工算出來 ......
若 S_n 不是 3 的倍數,則 a_(n+1) 是 3 的倍數的話,S_(n+1) 也一定不是 3 的倍數
所以只要 a_1 不是排 3 的倍數,其餘位置都可以排 3 的倍數
再來先排 34 個除以 3 餘 1 和 33 個除以 3 餘 2 的數
若 a_1 ≡ 2 (mod 3)
以下數列是符合題意的 a_n 除以 3 之餘數排列
2,2,1,2,1,2,1,......
可發現除了 a_1,以下都是交錯排列
但 a_n ≡ 2 (mod 3) 的個數比 a_n ≡ 1 (mod 3) 的個數少 1 個
等 a_n ≡ 2 (mod 3) 都排完了,接下來一定會遇到連續兩個 a_n ≡ 1 (mod 3),然後就爆了
故 a_1 ≡ 1 (mod 3)
以下數列是符合題意的 a_n 除以 3 之餘數排列
1,1,2,1,2,1,2,......
可發現除了 a_1,以下也都是交錯排列
最後把 33 個 a_n ≡ 0 (mod 3) 的數插入以上的 67 個間隔中
所求 = H(67,33) * 34! * 33! * 33!